Rekursive Definition

Die einfache Folge der natürlichen Zahlen (\(1, 2, 3, …\)) kann explizit ausgedrückt werden als

\[ a_n = n \]

Sie kann aber auch anders beschrieben werden: Jedes Glied der Folge entspricht dem vorhergehenden Glied plus 1:

\[ a_n = a_{n-1} + 1 \]

Das “jetzige” Folgeglied hat den Zähler \(n\). Das vorhergehende Glied hatte einen Zähler, der um eins kleiner war, deshalb \((n-1)\). Somit beschreiben wir den Wert des jetzigen Glieds \(a_n\) mit Hilfe des Werts des vorhergehenden Glieds \(a_{(n-1)}\).

Zu diesem Letzteren addieren wir 1. Sind wir mit der rekursiven Definition fertig? Nein, denn wir haben bis jetzt nur das Verhältnis von einem Glied zum nächsten beschrieben. Wir haben aber nicht definiert, welchen absoluten Wert wir haben.

Wie lautet die rekursive Definition der Folge \((b_n)\) ?

\[ (b_n) = 1.2,\, 2.2,\, 3.2,\, 4.2,\, … \]

Wir haben hier die genau gleiche Definition wie vorhin und doch ist es nicht die Folge der natürlichen Zahlen.

Deshalb war die rekursive Definition noch nicht eindeutig.

Wenn wir aber irgendein Glied aus der Folge festlegen, ist klar, um welche Folge es sich handelt. Meistens wird das erste Glied \(a_1\) definiert. Die Folge der natürlichen Zahlen müsste deshalb wie folgt definiert werden:

\[ a_n = a_{n-1} + 1 \quad \text{mit} \quad a_1=1 \]

Für die zweite Folge schreiben wir analog:

\[ b_n = b_{n-1} + 1 \quad \text{mit} \quad b_1=1.2 \]

Beachte, dass wir auch die rekursive Definition von \(a_{n+1}\) aufstellen könnten. Wir beschreiben, wie \(a_{n+1}\) aufgrund von \(a_n\) berechnet wird. Für die Folge der natürlichen Zahlen wäre dies:

\[ a_{n+1} = a_n + 1 \quad \text{mit} \quad a_1=1 \]