Beschränktheit von Folgen

Beispiel

Ist die Folge \(a_n = \frac{n}{n+2}\) beschränkt?

Die Glieder der Folge sind: \(\frac{1}{3}, \frac{2}{4}, \frac{3}{5}, \frac{4}{6}, \frac{5}{7}, \frac{6}{8}, …\). Die Differenz von einem Glied zum Nächsten beträgt:

\[ a_{n+1} – a_n = \frac{n+1}{n+3} – \frac{n}{n+2} = \frac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+2)(n+3)} \]

\[ \require{cancel} = \frac{\cancel{n^2}+\cancel{3n}+2-\cancel{n^2}-\cancel{3n}}{(n+2)(n+3)} = \frac{2}{(n+2)(n+3)} > 0 \]

Die Differenz ist definitiv positiv, d.h. die Folge ist streng monoton steigend. Daraus können wir schliessen, dass sie //unten beschränkt// ist und ihre untere Grenze \(\frac{1}{3}\) ist, da sie von da an immer wächst.

Wir sehen aber auch, dass die Differenz mit wachsendem \(n\) immer kleiner wird. Die Folge steigt zwar, nimmt mit der Zeit aber immer kleinere Schritte nach oben. Damit vermuten wir, dass sie nach oben beschränkt ist. Betrachten wir nochmals die explizite Definition der Folge:

\[ a_n = \frac{n}{n+2} \]

Wenn wir ganz weit in der Folge sind und ein sehr grosses \(n\) haben, dann sind Zähler und Nenner fast gleich, wobei der Nenner immer etwas grösser ist. Der Wert der Folge ist deshalb sicherlich kleiner als //eins// und zwar für sämtliche erdenkbare Werte von \(n\). Damit haben wir auch eine obere Grenze für \(a_n\).

\[ \frac{1}{3} \leq a_n < 1 \quad \forall n \]