Höhere Ableitungen

In der Diskussion der Ableitung hatten wir als erstes Beispiel die Funktion \(f(x)=\frac{1}{4}x^2\) betrachtet und dafür den Differentialquotienten aufgestellt. Wir haben den Ausdruck als erste Ableitungsfunktion genannt:

\[ f'(x) = \frac{1}{2}x \]

Die erste Ableitungsfunktion ist eine Zuordnung einer Steigung (der Funktion \(f\)) zu einer Stelle \(x\). Wir bestimmen einfach die Stelle \(x\) und kriegen, eingesetzt in \(f'(x)\), die Steigung von \(f\) in diesem Punkt.

Was passiert, wenn wir die Funktion \(f'(x)\) nochmals ableiten, d.h. die Steigung von f'(x) berechnen? Wir stellen wieder den Differentialquotienten auf:

\[ f”(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big(\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}\Big) \]

\[ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big(\frac{\frac{1}{2}(x+\Delta x)-\frac{1}{2}x}{\Delta x}\Big) \]

\[ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big(\frac{\frac{1}{2}\Delta x}{\Delta x}\Big) = \frac{1}{2} \]