Abstandsgeometrie

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Angenommen wir haben eine Gerade \(g\), die an einem Punkt \(P\) vorbeiführt. Wie gross ist der Abstand \(d\) zwischen der Gerade \(g\) und \(P\)? Dazu brauchen wir natürlich das Lot auf die Gerade, denn das ist die kürzeste Verbindung vom Punkt zur Gerade.

Zuerst wählen wir einen Punkt \(A\) auf \(g\) und bilden eine Vektordifferenz zwischen dem Ortsvektor \(overrightarrow{OA}\) zum Punkt \(A\) und dem Ortsvektor \(overrightarrow{OP}\) zum Punkt \(P\), von welchem aus wir den Abstand zu \(g\) herausfinden möchten. Diese Vektordifferenz entspricht dem grauen Vektor von \(A\) nach \(P\) in der nachfolgenden Zeichnung:

\[ \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} – \overrightarrow{OA} \]

Mit Hilfe der Vektorgeometrie können wir jetzt ein Vektorprodukt aufstellen, dessen Betrag der Fläche eines Parallelogramms entspricht. Das (orangene) Parallelgramm der Vektoren \(\overrightarrow{AP}\) und \(\overrightarrow{AB}\) hat die gleiche Fläche, wie das (rote) Rechteck mit Grundseite \(\overrightarrow{AP}\) und Höhe \(d\).

Gemäss dem Prinzip von Cavalieri hat das orangene Parallelogramm die gleiche Fläche \(F\), wie das rote Rechteck:

\[ F = \Big |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} \Big| = d \cdot |\overrightarrow{AB}| \]

\(F\) können wir mit dem Vektorprodukt berechnen. Da sie auch dem Produkt von Grundseite mit der Länge \(\overrightarrow{AB}\) und der Höhe \(d\) entspricht, können wir sie nach der gesuchten Grösse \(d\) auflösen:

\[ d = \frac{\Big |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} \Big|}{|\overrightarrow{AB}|} \]

Da wir hier die ganze Sache mit allgemeinen Vektoren beschrieben haben, gilt das auch im Raum für dreidimensionale Vektoren. Das ist dann schon sehr stark, wenn wir den Abstand zu einer Geraden im Raum berechnen können und die Mathematik uns automatisch das Lot auf die Gerade findet.

Der Abstand eines Punkts \(P\) von einer Geraden \(g\) lässt sich berechnen mit:

\[ d = \frac{\Big |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} \Big|}{\big|\overrightarrow{AB}\big|} \]

Dabei sind der Vektor \(\overrightarrow{AB}\) und der Punkt \(A\) beide auf der Geraden \(g\). Der Vektor \(\overrightarrow{AB}\) wird aus den Ortsvektoren von \(A\) und \(P\) gewonnen:

\[ \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} – \overrightarrow{OA} \]

Beispiel

Zeige, dass die Gerade \(g\) im Abstand von \(d=5\) am Ursprung vorbeiführt. \[ g: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Lösung

Für den Vektor, der auf der Geraden \(g\) liegt, wählen wir aus der Geradengleichung den Vektor \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) und für den Punkt \(A\) die Koordinaten \(A(5,3,1)\), ebenfalls aus der Geradengleichung. Der Ursprung ist der Punkt \(P\) mit den Koordinaten \(P(0,0,0)\). Damit gilt für den Vektor \(\overrightarrow{AP}\): \[ \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} – \overrightarrow{OA} \] \[ = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \] Jetzt können wir das Vektorprodukt berechnen: \[ \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ 15 \end{pmatrix} \] Der Betrag davon ist: \[ \Big| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} \Big| \] \[ = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 15^2} \] \[ = \sqrt{250} = 5 \sqrt{10} \] Dann berechnen wir noch den Betrag von \(\overrightarrow{AB}\): \[ \Big| \overrightarrow{AB} \Big| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2} \] \[ = \sqrt{10} \] So dass wir für den Abstand \(d\) erhalten: \[ d = \frac{\Big |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP} \Big|}{\big|\overrightarrow{AB}\big|} \] \[ \require{cancel} = \frac{5 \cancel{\sqrt{10}}}{\cancel{\sqrt{10}}} = \underline{5} \] Tatsächlich schneidet die Gerade \(g\) die \(x\)-Achse im Punkt \((5,0,0)\). Da sie in einer Ebene verläuft, die parallel ist zur \(y,z\)-Ebene, ist das Lot von \(P\) auf \(g\) gerade in der \(x\)-Achse und somit beträgt \(d=5\).

Abstand zwischen Punkt und Ebene

Ist der Punkt \(P\) nicht in der Ebene \(E\), so hat er einen bestimmten Abstand \(d\) zur Ebene \(E\), den wir berechnen können. Wir schauen uns dazu die beiden Punkte \(A \in E\), \(P \notin E\) und die Ebene \(E\) von der Seite an:

Obwohl es sich um eine räumliche Geschichte handelt, können wir die beiden Punkte \(A\) und \(P\) in unsere Zeichenebene legen. Zuerst legen wir \(P\) in unsere Zeichenebene. Dann legen wir den Normalvektor \(\vec{n}\) der Ebene ebenfalls in unsere Zeichenebene. Schliesslich drehen wir um die Achse (in Richtung von \(\vec{n}\)), bis nun auch der Punkt \(A\) in unserer Zeichenebene liegt.

Wenn \(P\) und \(A\) in der Zeichenebene liegen, dann auch ihr Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\). Beachte, dass der Ursprung nicht unbedingt in der Zeichenebene sein muss.

Nun berechnen wir den Abstand \(d\) und schauen uns dazu das rechtwinklige Dreieck mit dem Winkel \(\alpha\) an. Wir können die trigonometrische Beziehung zwischen \(d\) und der Hypotenuse aufstellen:

\[ \cos(\alpha) = \frac{d}{\Big|\overrightarrow{AP}\Big|} \]

Für den Kosinus von \(\alpha\) können wir die Beziehung aus dem Skalarprodukt von \(\vec{n}\) und \(\overrightarrow{AP}\) benutzen. Er ist ja der Zwischenwinkel, zwischen den beiden Vektoren:

\[ \cos(\alpha) \;\; = \;\; \frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}}{\big| \vec{n} \big| \cdot \Big|\overrightarrow{AP}\Big|} \]

Wir setzen beides gleich und erhalten eine Gleichung, in welcher wir den einen Betrag weg kürzen können:

\[ \require{cancel} \frac{d}{\cancel{\Big|\overrightarrow{AP}\Big|}} \;\; = \;\; \frac{\Big|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}\Big|}{\big| \vec{n} \big| \cdot \cancel{\Big|\overrightarrow{AP}\Big|}} \]

Damit haben wir einen Ausdruck für den Abstand \(d\) gefunden. Da das Skalarprodukt im Zähler auch negative Werte erzeugen kann, ein negativer Abstand aber keinen Sinn machen würde, haben wir das Skalarprodukt zwischen zwei Betragsstriche gesetzt. 

Der Abstand \(d\) eines Punktes \(P\) von einer Ebene \(E\) (mit Normalvektor \(\vec{n}\)) kann berechnet werden, wenn ein Punkt der Ebene \(A \in E\) bekannt ist:

\[ d \;\; = \;\; \frac{\Big|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}\Big|}{\big| \vec{n} \big|} \]