Hessesche Normalform

Die nach dem deutschen Mathematiker Otto Hesse (1811-1874) benannte Hessesche Normalform ist eine Normalform mit normiertem Normalvektor:

Unter “normiert” verstehen wir “auf die Länge eins gebracht, d.h. als Einheitsvektor.

Für die Berechnung eines Abstands zu einem Punkt \(P\) von der Ebene \(E\) hatten wir folgende Formel hergeleitet:

\[ d = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}|}{|\vec{n}|} \]

Dabei ist \(\overrightarrow{AP}\) ein Verbindungsvektor von einem beliebigen Punkt \(A \in E\) zum Punkt \(P\). Die obige Formel können wir aber auch so schreiben:

\[ d \;\;=\;\; \Big| \; \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \cdot \overrightarrow{AP} \; \Big| \]

Der Bruch stellt den Vektor \(\vec{n}\) dar, dividiert durch seine eigene Länge, d.h. wir behalten die Richtung und kriegen einen normierten Vektor mit der Länge 1:

\[ \vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \quad \rightarrow \quad |\vec{n}_0| = 1 \]

Wir ersetzen den Bruch mit \(\vec{n}_0\) und erhalten so:

\[ d \;\;=\;\; \big |\;\vec{n}_0 \cdot \overrightarrow{AP} \; \big | \]

Beispiel

Stelle für die Ebene \(E\) die Hessesche Normalform auf:

\[ E: \;\; x – 4y + 8z +3 = 0 \]

---

Wir brauchen den normierten Normalvektor \(\vec{n}_0\). Aus der gegebenen Koordinatenform der Ebene \(E\) lässt sich der nicht normierte Normalvektor einfach ablesen:

\[ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \]

Wir berechnen die Norm dieses Vektors:

\[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{1+16+64} = \sqrt{81} = 9 \]

Somit müssen wir den Normalvektor \(\vec{n}\) mit dem Faktor 9 kürzen:

\[ \vec{n}_0 = \frac{1}{9} \cdot \vec{n} = \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \]

\[ \vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1/9 \\ -4/9 \\ 8/9 \end{pmatrix} \]

Jetzt brauchen wir noch einen Punkt, der auf der Ebene ist. Wir können z.B. die \(y\)- und \(z\)-Koordinate dieses Punkts auf null setzen und die \(x\)-Koordinate mit der Ebenengleichung bestimmen:

\[ \require{cancel} x – \cancel{4 \cdot 0} + \cancel{8 \cdot 0} + 3 = 0 \]

\[ x + 3 = 0 \quad \rightarrow \quad x = -3 \]

Der Punkt \(A(-3,0,0)\) erfüllt damit die Ebenengleichung und ist somit auf \(E\). Damit erhalten wir den Vektor vom Punkt \(A(-3,0,0)\) zum allgemeinen Punkt \(P(x,y,z)\) auf der Ebene:

\[ \overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} x – (-3) \\ y – 0 \\ z – 0 \end{pmatrix} \]

Jetzt können wir die Hessesche Normalform aufstellen:

\[ \underline{E: \;\; \begin{pmatrix} 1/9 \\ -4/9 \\ 8/9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x + 3 \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0} \]

Beispiel

Berechne den Abstand des Punkts \(P(3,5,3)\) von der Ebene \(E\), die nachfolgend in der Hesseschen Normalform gegeben ist:

\[ E:\;\; \begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \\ z- 7/2 \end{pmatrix} = 0 \]

---

Wir setzen einfach die Koordinaten des Punkts \(P(3,5,3)\) ein:

\[ d = \begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-2 \\ 3 \,- 7/2 \end{pmatrix} \]

\[ d = \frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{2}{3} \cdot 3 \,- \frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2}) \]

\[ d = \frac{2}{3} + 2 + \frac{1}{3} = \underline{\;3\;} \]

Beispiel

Berechne den Abstand des Punkts \(\;P(17, -8, 3)\;\) zur Ebene \(E\) mit Hilfe der Hesseschen Normalform:

\[ E:\; 8x – 4y + z – 9 = 0 \]

---

Wir können den Normalvektor \(\vec{n}\) direkt aus der Koordinatenform ablesen:

\[ \vec{n} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Wir normieren den Normalvektor \(\vec{n}\), indem wir seine Länge berechnen:

\[ | \vec{n} | = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{81} = 9 \]

Jetzt dividieren wir die ganze Ebenengleichung mit diesem Faktor:

\[ E:\; \frac{1}{9} \cdot \big( 8x – 4y + z – 9 \big) = 0 \]

Jetzt haben wir die Ebenengleichung in der gewünschten Form. Um den Abstand \(d\) des Punkts \(P\) zur Ebene \(E\) zu berechnen, brauchen wir einfach nur die Koordinaten des Punkts \(\;P(17,-8,3)\;\) einzusetzen:

\[ d = \frac{1}{9} \cdot \big( 8 \cdot 17 \,- 4 \cdot (-8) + 3 – 9 \big) \]

\[ d = \frac{1}{9} \cdot \big( 136 + 32 + 3 – 9 \big) = \frac{1}{9} \cdot 162 \]

\[ \underline{d = 18} \]