Gleichungen mit Substitution lösen

Auch in der Mathematik gibt es das Konzept der Tarnung. Im Tierreich dient die Tarnung als Schutz, damit das getarnte Tier vom Räuber nicht erkannt wird. In der Mathematik bist du der Räuber (!) und die Gleichung hat sich aber so gut getarnt, dass du nicht weisst, um welche Art von Gleichung es sich handelt und wie du sie knacken kannst. Mit dem Trick der Substitution entzauberst du die Tarnung.

Gesucht sind die Lösungen der folgenden Gleichung:

\[ 9x^4-72x^2+144=0 \]

Das ist eine Polynomgleichung 4. Grades und wir müssten jetzt anfangen, die Nullstellen zu erraten, Das Polynom dividieren etc. Mit ein bisschen Übung erkennst du aber, dass hier eine relativ einfache binomische Formel sich getarnt hat! Du substituierst (d.h. ersetzt) den Ausdruck \(9x^4\) mit \(u^2\), d.h. du sagst einfach: “Ich führe ein \(u\) ein, das folgendermassen definiert ist”:

\[ u=3x^2 \quad \text{bzw.} \quad u^2=9x^4 \]

Nun setzt du Ihre Substitution in die Polynomgleichung ein:

\[ (3x^2)^2-\frac{72}{3} \cdot 3x^2 + 12^2 \]

\[ u^2 – 24u + 12^2 \]

Jetzt ist die Tarnung aufgeflogen! Es ist eine binomische Formel vom Typ \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), d.h. wir können schreiben:

\[ u^2 – 24u + 12^2 = (u-12)^2 = 0 \]

Wir lösen für \(u\) und erhalten die (doppelte) Lösung: \(u=12\). Nun war aber nicht \(u\) gefragt – das haben wir ja eingeführt – sondern \(x\). Wir müssen jetzt wieder zurück substituieren.

\[ u = 3x^2 = 12 \]

und somit

\[ x^2=4 \quad \text{bzw.} \quad x=\pm\,2 \]

\[ \boldsymbol{L} = \Bigl \{ -2,\,\,2 \Bigr \} \]

Beispiel

Finde die Lösung der folgenden Gleichung:

\[ (-z)^{\frac{2}{3}}+2\sqrt[3]{-z}=-1 \]

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Wir bringen die -1 zuerst mal nach links, damit wir die übliche Normalform kriegen. Die Potenz wird ebenfalls mit einer Wurzel geschrieben:

\[ \sqrt[3]{(-z)^2}+2\sqrt[3]{-z}+1=0 \]

Jetzt können wir das Quadrat in der Wurzel auch ausserhalb der Wurzel schreiben:

\[ \bigl (\sqrt[3]{-z} \bigr )^2+2 \bigl (\sqrt[3]{-z} \bigr ) +1=0 \]

Wir substituieren \(a=\sqrt[3]{-z}\) und erhalten:

\[ a^2 + 2a + 1=0 \]

Somit ist die Lösung für \(a\)

\[ (a+1)^2=0 \quad \text{d.h.} \quad a=-1 \]

Jetzt substituieren wir zurück,

\[ \sqrt[3]{-z}=-1 \]

potenzieren die Gleichung mit Exponent 3, damit wir die Wurzel loswerden…

\[ \Bigl ( \sqrt[3]{-z} \Bigr )^3 = (-z) = (-1)^3 = -1 \]

…und erhalten die Lösung für \(z\):

\[ \underline{\boldsymbol{L} = \Bigl \{ 1 \Bigr \}} \]