Rechtwinklige Dreiecke (Pythagoras)

Satz des Pythagoras

Pythagoras von Samos (ca. 570 v. Chr. – 510 v. Chr.) war ein antiker griechischer Philosoph und Gründer einer einflussreichen religiös-philosophischen Bewegung. Vieles zu seiner Person ist umstritten oder Stoff von Legenden. Er gilt aber als einer der Begründer der Geometrie bzw. Mathematik.

Der griechische Mathematiker Euklid von Alexandria lebte wahrscheinlich im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria und beschrieb die Satzgruppe des Pythagoras, die drei Sätze für rechtwinklige Dreiecke umfasst:

• Satz des Pythagoras
• Höhensatz
• Kathetensatz

Der erste dieser drei Sätze ist der Satz des Pythagoras. Er ist wohl einer der meist verwendeten Sätze der Geometrie:

Satz des Pythagoras: Die Summe der Quadrate der beiden Katheten \(a\) und \(b\) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse \(c\):

\[a^2 + b^2 = c^2 \]

Wir können den Satz des Pythagoras auch graphisch darstellen, indem wir um das Dreieck herum die einzelnen Seiten mit dem Zirkel umklappen und so jeweils ein Quadrat bilden mit der Fläche \(a^2\) (rot), \(b^2\) (blau) bzw. \(c^2\) (grün). Der Satz des Pythagoras besagt nun, dass die Fläche des roten und blauen Quadrats zusammen die Fläche des grünen Quadrats ergeben.

Beweis

Wir können den Satz des Pythagoras am besten graphisch beweisen. Dazu nehmen wir vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den beiden Katheten \(a\), \(b\) und der Hypotenuse \(c\). Wir können dieses Dreiecke so anordnen, dass sie ein Quadrat mit der Seitenlänge \((a+b)\) erzeugen. Zwischen den Dreiecken entsteht ein Loch der Fläche \(c^2\).

Wenn wir jetzt das grosse Quadrat behalten, aber die vier Dreiecke etwas anders platzieren, erhalten wir zwei quadratische Löcher mit den Flächen \(a^2\) und \(b^2\). Da wir das gleich grosse Quadrat mit den Seiten \((a+b)\) beibehalten haben, wurde das ursprüngliche Loch der Fläche \(c^2\) einfach in zwei separate Quadratflächen umgewandelt. Sie müssen zusammen aber die gleiche Fläche ausmachen wie \(c^2\). Deshalb muss gelten…

\[a^2 + b^2 = c^2 \]

…womit der Satz des Pythagoras bewiesen ist.

Wir können den Satz des Pythagoras auch mit ein bisschen Algebra beweisen. Das grosse Quadrat hat die Fläche \((a+b)^2\). Mit Hilfe der binomischen Formel erhalten wir:

\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Jetzt ziehen wir das Loch ab und erhalten so die 4-fache Fläche \(A\) der rechtwinkligen Dreiecke:

\[a^2 + 2ab + b^2 – c^2 = 4 \cdot A \]

Wenn wir die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks multiplizieren (\(a \cdot b\)) erhalten wir ein Rechteck mit der doppelten Fläche des Dreiecks. Die Diagonale im Rechteck teilt es in zwei gleich grosse Dreiecke mit der Fläche \(A\).

\[A = \frac{1}{2}ab \]

Wir setzen dies oben ein, subtrahieren dann \(2ab\) und erhalten so

\[a^2 + 2ab + b^2 – c^2 = 4 \cdot \frac{1}{2}ab = 2ab \]

\[ \require{cancel} a^2 + \cancel{2ab} + b^2 – c^2 = \cancel{2ab} \]

\[a^2 + b^2 – c^2 = 0 \quad \rightarrow \quad a^2 + b^2 = c^2 \]

Anwendungen in rechtwinkligen Dreiecken

Auch wenn wir kein rechtwinkliges Dreieck haben, lassen sich z.B. durch Einführen einer Höhe immer ein oder zwei rechtwinklige Dreiecke finden, für die der Satz des Pythagoras angewendet werden kann.

Beispiel

Bestimme die Höhe \(h\) in einem gleichseitigen Dreieck.

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Wir machen eine kleine Skizze eines gleichseitigen Dreiecks mit den Seiten \(s\) und den Winkeln von \(60°\). Wir zeichnen auch die Höhe \(h\) ein.

Mit der Höhe entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke mit den beiden Katheten \(\frac{s}{2}\) und \(h\) und der Hypotenuse \(s\). Wir können für dieses rechtwinklige Dreieck den Satz des Pythagoras einsetzen:

\[h^2 + \Big (\frac{s}{2} \Big) ^2 = s^2 \]

Da wir \(h\) bestimmen möchten, subtrahieren wir in der Gleichung den Bruch im Quadrat.

\[h^2 = s^2 – \Big (\frac{s}{2} \Big) ^2 = s^2 – \frac{s^2}{4} = (1-\frac{1}{4})\cdot s^2 = \frac{3}{4}s^2 \]

Jetzt ziehen auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel

\[h = \sqrt{\Big(\frac{3}{4}s^2\Big)} = \frac{\sqrt{3}}{2}s \]

Beispiel

Berechne die Diagonale \(d\) eines Quadrats mit Seitenlänge \(s\).

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Wir machen als erstes eine kleine Skizze des Quadrats mit Seitenlänge \(s\) und zeichnen die Diagonale ein.

Jetzt sehen wir natürlich das rechtwinklige Dreieck, für welches wir den Pythagoras anwenden können. Es hat die beiden gleichen Katheten \(s\) und die Diagonale \(d\) bildet die Hypotenuse. Der Satz des Pythagoras lautet deshalb:

\[s^2 + s^2 = d^2 \]

Wir vertauschen die beiden Seiten, addieren die \(s^2\) und ziehen die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung:

\[d^2 = 2s^2 \quad \rightarrow \quad d = \sqrt{2} s \]

Anwendung im Koordinatensystem (zweidimensional)

Der Satz von Pythagoras ist ein sehr nützliches Werkzeug für die Berechnung von Distanzen zweier Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

Beispiel

Berechne den Abstand \(a\) zwischen den Punkten A(5,1) und B(2,3).

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Wir zeichnen ein Koordinatensystem und tragen die beiden Punkte A und B ein. Der Abstand \(a\) ist die direkte (gerade) Verbindung zwischen den beiden Punkten.

Wir sehen sofort, dass sich ein rechtwinkliges Dreieck bilden lässt: Die horizontale Kathete ist der horizontale Abstand der beiden \(x\)-Koordinaten: \(5-2=3\). Vertikal sind die beiden Punkte \(3-1=2\) auseinander.

Mit dem Satz des Pythagoras berechnen wir so die Hypotenuse \(a\):

\[a^2 = 3^2 + 2^2 = 9+4 = 13 \]

Wir erhalten somit einen Abstand \(a=\sqrt{13}\)

Anwendung im Koordinatensystem (dreidimensional)

Wenn wir Abstände zwischen zwei Punkten im Raum berechnen müssen, können wir dies auch mit dem Satz des Pythagoras tun. Allerdings geht das nicht in einem Schritt, sondern wir müssen zwei rechtwinklige Dreiecke aufstellen.

Wir schauen uns das an einem Beispiel an: Gesucht ist der Raumabstand \(d\) zwischen den Punkten A(0,4,0) und B(3,0,5).

Als Erstes zeichnen wir ein dreidimensionales Koordinatensystem mit den drei Achsen \(x\), \(y\) und \(z\). Es ist üblich, die \(x\)-Achse nach vorne zu nehmen, d.h. aus der Zeichenebene heraus. Die \(y\)-Achse zeigt jetzt nach rechts und die Achse für die Vertikale ist die \(z\)-Achse. Natürlich kann das Koordinatensystem auch anders gedreht und dargestellt werden. Diese Darstellung ist aber die üblichste Ansicht, mit welcher man anfängt.

Jetzt können wir die beiden Punkte A und B einzeichnen. A liegt auf der \(y\)-Achse. B liegt auf der \(x,z\)-Ebene. Gesucht ist die gerade Verbindung \(d\) zwischen den beiden.

Als Erstes suchen wir ein rechtwinkliges Dreieck, so dass wir den Satz des Pythagoras anwenden können. Das rote Dreieck hat einen rechten Winkel beim Punkt C, denn die Strecke [AC] liegt in der \(x,y\)-Ebene, d.h. auf der “Bodenebene”. Die andere Strecke [CB] ist parallel zur \(z\)-Achse und ist somit senkrecht zur “Bodenebene”. Das rote Dreieck ABC ist deshalb ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Katheten [AC] und [BC] und der Hypotenuse \(d\). Wenn wir also die Längen der Strecken \(\overline{AC}\) und \(\overline{BC}\) haben, können wir \(d\) mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:

\[\overline{BC}\,^2 + \overline{AC}\,^2 = d^2 \]

Die Länge \(\overline{BC}\) kann einfach aus den \(z\)-Koordinaten der Punkte B und C erhalten werden:

\[\overline{BC} = B_z – C_z = 5 – 0 = 5 \]

Die Länge \(\overline{AC}\) kann nicht so direkt gefunden werden. Sie muss als Abstand zweier Punkte in einer \(x,y\)-Ebene bestimmt werden, d.h.

\[\overline{AC} = \sqrt{(A_x-C_x)^2 + (A_y-C_y)} \]

Wir können die Koordinaten direkt oben einsetzen oder uns dieses blaue rechtwinklige Dreieck in der \(x,y\)-Ebene aufzeichnen. Dazu stellen wir uns vor, wir würden über der \(x,y\)-Ebene schweben und würden senkrecht nach unten schauen, also gerae der \(z\)-Achse entgegengesetzt.

Jetzt sehen wir sehr schön, dass das blaue Dreieck zwei Katheten mit den Längen \(3\) und \(4\) hat, d.h. die Hypotenuse [AC] hat demzufolge die Länge: \(\sqrt{3^2+4^2}=5\).

Wir gehen zurück zum roten Dreieck. Die Längen der beiden Katheten [BC] und [AC] sind bekannt und wir können den Satz des Pythagoras anwenden. Zur Verdeutlichung zeichnen wir das rote Dreieck in seiner eigenen Ebene.

Beide Katheten haben die Länge \(5\) und somit ist der Winkel von \(d\) gegenüber der “Bodenebene” \(45°\). Es ist eine Diagonale eines Quadrats und wir schreiben einfach:

\[d = \sqrt{2}\cdot 5 \approx 7.07 \]

Das gleiche Resultat erhalten Sie natürlich auch mit dem Satz des Pythagoras: \(d = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{2 \cdot 5^2}\)

Höhensatz

Der Höhensatz ist der zweite Satz in der Satzgruppe des Pythagoras. Er zeigt, wie die Höhe \(h\) die Grundseite in zwei Streckenabschnitte \(p\) und \(q\) aufteilt. Beachten Sie, dass es sich auch hier um ein rechtwinkliges Dreieck handeln muss.

Wir können den Höhensatz wieder als Flächen darstellen. Für das Quadrat der Höhe \(h\) nehmen wir die Länge der Höhe in den Zirkel und tragen sie im rechten Winkel zur Höhe ab. Das Quadrat hat die Fläche \(h^2\).

Die Höhe \(h\) teilt die Grundseite in die beiden Streckenabschnitte \(p\) und \(q\). Wir machen jetzt das Gleiche mit dem Streckenabschnitt \(p\): Wir nehmen ihn in den Zirkel und tragen ihn senkrecht zu \(q\) ab. Damit erhalten wir ein Rechteck mit der Fläche \(p \cdot q\).

Die beiden Flächen in der Zeichnung sind, gemäss dem Höhensatz, gleich gross.

Beweis

Für den Beweis erinnern wir uns an die geometrische Ähnlichkeit. Die Höhe teilt nämlich das Dreieck in zwei Dreiecke.

Im linken Dreieck haben wir ganz links den Winkel \(\alpha’\). Rechts unten, am Fuss der Höhe, ist es natürlich ein rechter Winkel. Da die Summe alle Winkel in einem Dreieck \(180°\) ist, wissen wir, dass für den oberen Winkel \(\alpha\) gilt:

\[\alpha = 180° – \alpha’ – 90° = 90° –  \alpha’ \]

Der obere Winkel \(\alpha\) teilt den rechten Winkel des grossen ursprünglichen Dreiecks auf. Der Rest ist somit \(90° –  \alpha\) und das ist wiederum einfach \(\alpha’\), weil diese beiden Winkel zusammen \(90°C\) ergeben.

Das kleine Dreieck und das grosse Dreieck haben beide die Winkel \(\alpha’\) und \(\alpha\) und den rechten Winkel. Zwei Dreiecke, deren Winkel alle gleich sind, sind geometrisch ähnlich.

Wir wissen auch, dass für geometrisch ähnliche Figuren die Seitenverhältnisse proportional sind, wie uns das der Strahlensatz lehrt. Wir schauen uns beispielsweise das Verhältnis der kürzeren Kathete zur längeren Kathete an:

Im kleinen Dreieck ist die kürzere Kathete gleich dem Streckenabschnitt \(p\). Die längere Kathete ist die Höhe \(h\). Im grossen Dreieck haben wir die Höhe \(h\), die die kürzere Kathete bildet und der Streckenabschnitt \(q\) für die längere Kathete. Jetzt bilden wir die Verhältnisse als Bruch und setzen sie gleich:

\[\frac{p}{h} = \frac{h}{q} \]

Wir multiplizieren beide Seiten mit \(h\) und \(q\) und erhalten den Höhensatz

\[ \require{cancel} \frac{p}{\cancel{h}} \cdot \cancel{h}q = \frac{h}{\cancel{q}} \cdot h\cancel{q} \quad \rightarrow \quad pq = h^2 \]

Beispiel

Ein Tunnel hat den Querschnitt eines Halbkreises mit dem Radius \(r=4.35\,\text{m}\).

Wie hoch kann ein LKW der Breite \(b = 2.55\,\text{m}\) höchstens sein, wenn seine linke Seite \(30\,\text{cm}\) Abstand von der Tunnelmitte hat?

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Wir machen eine Skizze des Tunnelquerschnitts und zeichnen den Lastwagen als Reckeck ein (blau).

Wie immer bei der Anwendungen in der Satzgruppe des Pythagoras, brauchen wir ein rechtwinkliges Dreieck, um eine Gleichung aufzustellen. Hier bildet der Halbkreis einen Thaleskreis, d.h. wenn wir die Ecke des maximalen Lastwagens nehmen, die die Tunnelwand gerade berührt, so können wir von hier aus ein Dreieck bilden. Weil die Ecke auf dem Thaleskreis liegt, ist der Winkel automatisch ein rechter Winkel.

Die Höhe \(h\), die gesuchte Grösse, teilt die Grundseite in einen Streckenabschnitt \(p\) und \(q\). Mit Hilfe des Höhensatzes können wir \(h\) berechnen, wenn wir \(p\) und \(q\) kennen. Der Streckenabschnitt \(q\) setzt sich zusammen aus dem Radius \(r\), dem Abstand \(30\,\text{cm}\) und der Breite des Lastwagens.

\[q = 4.35\,\text{m} + 0.30\,\text{m} + 2.35\,\text{m} = 7.2\,\text{m} \]

Für den Streckenabschnitt \(p\) ist es einfach. Da \(p+q\) den doppelten Radius ergibt, können wir den eben berechneten Streckenabschnitt \(q\) abziehen:

\[p = 2r – q = (2 \cdot 4.35\,\text{m}) – 7.2\,\text{m} = 1.5\,\text{m} \]

Jetzt haben wir \(p\) und \(q\) und können den Höhensatz anwenden. Aus \(h^2 = pq\) machen wir \(h = \sqrt{pq}\):

\[h = \sqrt{pq} = \sqrt{1.5\,\text{m} \cdot 7.2\,\text{m}} = 3.28\,\text{m} \]

Beispiel

Konstruiere aus einem gegebenen gleichseitigen Dreieck ein flächengleiches Quadrat.

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Das gleichseitige Dreieck hat drei gleiche Winkel von \(60°\). Es ist kein rechtwinkliges Dreieck und wir können so den Höhensatz noch nicht anwenden. Wenn wir aber eine Höhe einzeichnen, teilt sie das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke auf.

Wir wissen, dass die Höhe \(\frac{\sqrt{3}}{2}s\) beträgt. Die kurze Kathete beträgt \(\frac{s}{2}\). Multiplizieren wir die beiden Strecken, erhalten wir die Fläche eines Rechtecks.

\[A = \Big(\frac{\sqrt{3}}{2}s\Big) \cdot \Big(\frac{s}{2}\Big) \]

Dieses Rechteck hat die Fläche des gleichseitigen Dreiecks, denn wenn wir das Rechteck mit der Diagonale halbieren, erhalten wir zwei rechtwinklige Dreiecke, die zusammen wieder das gleichseitige Dreieck ergeben.

Im Höhensatz haben wir auch ein Rechteck, das die gleiche Fläche hat, wie das Quadrat aus der Höhe. Das Rechteck (mit Fläche \(pq\)) haben wir; das Quadrat (Fläche \(h^2\)) müssen wir konstruieren. Wir wählen die Höhe als unser \(q\) und die halbe Grundseite als unser \(p\).

Jetzt nehmen wir die Länge von \(p\) in den Zirkel und tragen sie auf die Verlängerung von \(q\) ein. Wir erhalten so die Grundseite von einem neuen rechtwinkligen Dreieck.

Nun zeichnen wir einen Halbkreis, der als Thaleskreis dienen soll. Wir wissen, dass die gesuchte Höhe die Grundseite in die Teilstücke \(p\) und \(q\) aufteilt. Dort setzen wir an und verlängern so, dass wir einen Schnittpunkt mit dem Thaleskreis erhalten. Die neu erhaltene Höhe ist jetzt so, dass \(h^2\) der Fläche vom Rechteck \(pq\) entspricht. Dieses Rechteck hat ja die Fläche unseres gleichseitigen Dreiecks. Wir brauchen jetzt nur noch mit dem Zirkel die Höhe \(h\) abtragen und schon haben wir das gesuchte Quadrat.

Beispiel

Konstruiere ein Quadrat der Fläche \(12\,\text{cm}^2\).

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Das Problem ist, dass \(12\) keine Quadratzahl ist, denn sonst könnten wir es sehr einfach konstruieren. Hier brauchen wir aber eine Seitenlänge von \(\sqrt{12}\,\text{cm} = \sqrt{4\cdot3}\,\text{cm} = 2\cdot\sqrt{3}\,\text{cm}\)

Einfacher wäre ein Rechteck, z.B. \(3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\)

Mit dem Höhensatz können wir sehr einfach ein Rechteck in ein flächengleiches Quadrat umwandeln. Wir zeichnen deshalb eine Dreiecksgrundseite von \(7\,\text{cm}\) und teilen sie auf in \(p = 3\,\text{cm}\) und \(q = 4\,\text{cm}\). Da das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck sein muss, benutzen wir wieder einen Thaleskreis und ziehen die Höhe \(h\) hoch.

Die so erhaltene Höhe folgt dem Höhensatz, d.h. \(h^2 = pq = 12\,\text{cm}^2\). Wir brauchen jetzt nur noch aus der einen Höhe ein Quadrat zu konstruieren und wir haben genau die Fläche von \(12\,\text{cm}^2\) in quadratischer Form.

Kathetensatz

Der Kathetensatz ist der dritte Satz in der Satzgruppe des Pythagoras. Er stellt eine Beziehung her zwischen einer Kathete und ihrem zugehörigen Streckenabschnitt \(p\) bzw. \(q\) auf der Hypotenuse.

Wir können den Kathetensatz wieder mit Quadratsflächen, dieses Mal der Katheten und den zugehörigen Rechteckflächen unterhalb der Hypotenuse darstellen. Die Länge der Rechtecke nach unten ist die nach unten geklappte ganze Hypotenuse, d.h. eigentlich ist es das Quadrat mit der Fläche \(c^2\), das durch die Verlängerung der Höhe in zwei Rechtecke aufgeteilt wird. 

Beweis

Der Satz des Pythagoras kann nach \(a^2\) aufgelöst werden:

\[a^2 = c^2 – b^2 \]

Die Hypotenuse setzt sich aus den beiden Teilen \(p\) und \(q\) zusammen. Wir setzen deshalb \(c = p + q\).

\[a^2 = (p + q)^2 – b^2 \]

Dann ersetzen wir \(b^2\) mit einem Ausdruck mit \(q\) und \(h\). Wir benutzen dafür den Satz des Pythagoras für das linke Teildreieck: \(q^2 + h^2 = b^2\)

\[a^2 = (p + q)^2 – (q^2 + h^2) \]

\[ \require{cancel} a^2 = p^2 + 2pq + \cancel{q^2} – \cancel{q^2} – h^2 \]

Nun schauen wir uns das rechte Teildreieck an und setzen den Satz des Pythagoras auf: \(h^2 + p^2 = a^2\) bzw. \(h^2 = a^2 – p^2\). Wir ersetzen \(h^2\) mit dem neuen Ausdruck.

\[a^2 = p^2 + 2pq – (a^2 – p^2) \]

\[a^2 = p^2 + 2pq – a^2 + p^2 \]

Schliesslich können wir zusammenfassen, \(2p\) ausklammern und \((p+q)\) mit \(c\) ersetzen:

\[2a^2 = 2p^2 + 2pq = 2p \cdot (p + q) = 2pc \]

Wir erhalten somit den Kathetensatz für \(a\):

\[a^2 = pc \]

Der Kathetensatz für \(b\) wird auf die gleiche Art hergeleitet oder mit Pythagoras erhalten:

\[a^2 + b^2 = c^2 \quad \rightarrow \quad b^2 = c^2 – a^2 \]

Jetzt setzen wir den vorhin bewiesenen Kathetensatz für \(a^2\) ein benutze wieder den Umstand, dass \(p+q = c\) ist:

\[b^2 = c^2 – pc = c \cdot (c – p) = c \cdot q = qc \]

Beispiel

Konstruiere die Strecke \(\sqrt{15}\,\text{cm}\) mit dem Kathetensatz.

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Wir schreiben den einen Kathetensatz auf:

\[a^2 = pc \]

Die zu konstruierende Strecke soll \(a\) sein aus \(a^2 = 15\,\text{cm}^2\). Jetzt können wir diese Fläche wieder mit einem Rechteck beschreiben, z.B. \(15\,\text{cm}^2 = 3\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm}\). Wir konstruieren dazu eine Grundseite \(c = 5\,\text{cm}\) und teilen sie in zwei Teile \(p = 3\,\text{cm}\) und \(q = 2\,\text{cm}\) auf.

Dann ziehen wir die Höhe hoch und schneiden sie mit dem Thaleskreis über der Hypotenuse. Wir erhalten das rechtwinklige Dreieck mit den beiden Katheten \(a\) und \(b\). Die Kathete \(a\) ist jetzt genau \(\sqrt{15}\,\text{cm}\) lang, da \(a^2 = 15\,\text{cm}^2\). Mit \(a\) haben wir somit die gesuchte Strecke konstruiert.