Kosinussatz

Den Satz von Pythagoras kennst du ja bereits bestens. Er ist relativ einfach und sehr praktisch, jedoch ist er auf rechtwinklige Dreiecke eingeschränkt. Sobald wir ein ganz allgemeines Dreieck haben, können wir weder Pythagoras, noch die trigonometrischen Funktionen einsetzen, da wir weder Katheten, noch eine Hypotenuse haben.

Der Kosinussatz ist quasi der verallgemeinerte Satz von Pythagoras, der immer gilt, auch wenn wir ein allgemeines Dreieck haben.

Durch die Einführung der Höhe \(h_a\) haben wir zwei rechtwinklige Dreiecke erhalten. Für das linke rechtwinklige Dreieck können wir mit Pythagoras schreiben:

\[ a_1^2+h_a^2=c^2 \quad \text{bzw.} \quad a_1^2 = c^2 – h_a^2 \]

Mit \(a_1+a_2=a\) können wir \(a_1=a-a_2\) einsetzen:

\[ (a-a_2)^2 = c^2 – h_a^2 \]

\[ a^2-2aa_2+a_2^2 = c^2 – h_a^2 \]

Im rechten rechtwinkligen Dreieck gilt:

\[ \cos(\gamma)=\frac{a_2}{b} \quad \text{und} \quad \sin(\gamma)=\frac{h_a}{b} \]

\[ a_2 = b \cdot \cos(\gamma) \quad \text{und} \quad h_a = b \cdot \sin(\gamma) \]

Wir setzen jetzt diese Ausdrücke für \(a_2\) und \(h_a\) oben ein:

\[ a^2-2a\bigl ( b\cos(\gamma) \bigr)+\bigl ( b\cos(\gamma) \bigr)^2 = c^2 – \bigl ( b\sin(\gamma) \bigr)^2 \]

Wir addieren \(\bigl ( b\sin(\gamma) \bigr)^2\) und eliminieren die vielen Klammern:

\[ a^2-2ab\cos(\gamma)+b^2\cos^2(\gamma)+b^2\sin^2(\gamma) = c^2 \]

Jetzt klammern wir \(b^2\) auf der linken Seite aus

\[ \require{cancel} a^2-2ab\cos(\gamma)+b^2\cdot\cancel{\Bigl(\cos^2(\gamma)+\sin^2(\gamma)\Bigr)} = c^2 \]

Wir erinnern uns, dass \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\) ist und können deshalb die Klammer mit 1 ersetzen bzw. streichen. So erhalten wir schliesslich den verallgemeinerten Pythagoras, besser bekannt als Kosinussatz:

Kosinussatz:

\[ a^2+b^2-2ab\cos(\gamma) = c^2 \]

\[ b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) = a^2 \]

\[ c^2+a^2-2ca\cos(\beta) = b^2 \]

Beispiel

In einem Dreieck haben die Seiten die folgenden Längen:

\[ a=60\,\text{mm}, \;\; b=69\,\text{mm} \quad \text{und} \quad c=35\,\text{mm} \]

Wie gross ist der Winkel \(\alpha\) (ungefähr)?

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Wir nehmen die zweite Formel des Kosinussatzes, da darin der Winkel \(\alpha\) vorkommt.

\[ b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) = a^2 \]

Jetzt lösen wir nach \(\cos(\alpha)\) auf:

\[ 2bc\cos(\alpha) = b^2+c^2-a^2 \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \]

Wir setzen ein:

\[ \cos(\alpha) = \frac{69^2+35^2-60^2}{2\cdot69\cdot35}=\frac{4761+1225-3600}{4830}\approx 0.5 \]

Einen Kosinus von 0.5 erhalten wir für einen Winkel von 60°, d.h. die Lösung ist

\[ \underline{\alpha= 60^\circ} \]