Quadratische Gleichungen

In einer quadratischen Gleichung ist die zweite Potenz die höchste vorkommende Potenz. Es ist eine Potenzgleichung zweiten Grades.

Beispiele von quadratischen Gleichungen in \(x\):

\[ y=x^2 \qquad y=x^2+2x+1 \qquad y=a^4x^2 \]

\[ y=-x^2+1 \qquad x^2=3 \]

Quadratische Gleichungen werden im Diagramm als Parabeln dargestellt. Parabeln sind symmetrische Kurven. Ihre vertikale Symmetrieachse geht durch den sog. Scheitelpunkt. Aufrechte Parabeln haben im Scheitelpunkt ein Minimum. Links und rechts geht die Parabel unendlich hoch. Umgekehrte Parabeln kommen von unten, finden im Scheitelpunkt ihr Maximum und tauchen dann nach rechts wieder ab. Beachte zudem, dass alle Parabeln im Scheitelpunkt horizontal sind.

Wenn wir jetzt eine Gleichung aufstellen, z.B. wir schneiden eine Parabel mit einer geraden Linie oder einer anderen Parabel, so sehen wir sofort, dass es null, eine oder zwei Lösungen geben kann. Zwei Lösungen gibt es, wenn die Parabel geschnitten wird. Eine Lösung, wenn sie in einem Punkt berührt wird. Null Lösungen, wenn z.B. die Linie an der Parabel vorbeigeht, ohne sie zu schneiden.

Quadratische Gleichungen ergeben im Diagramm Parabeln, die eine vertikale Symmetrieachse haben und deren Scheitelpunkt das Minimum oder Maximum der Funktion ist. Quadratische Gleichungen können null, eine oder zwei Lösungen haben.

Die blaue Parabel hat die Gleichung

\[ y=\frac{1}{5}x^2 + x \]

Wie erwartet, ist die grösste vorkommende Potenz \(x^2\). Wir sehen, dass der Faktor vor dem \(x^2\) eine positive Zahl ist, nämlich \(\frac{1}{5}\). Deshalb ist die Parabel aufrecht. Ausserdem ist dieser Faktor kleiner als 1. Das macht die Parabel ”breit” oder ”flach gedrückt”. Von besonderem Interesse sind die sog. Nullstellen, d.h. die Stellen, an welchen die Parabel die \(x\)-Achse schneiden. Die blaue Parabel hat die Nullstellen \(x=-5\) und \(x=0\).

Die Nullstellen können wir aber auch anders herausfinden. Wir nehmen die Gleichung der Parabel und verlangen, dass die ”Höhe” null betragen soll:

\[ y=\frac{1}{5}x^2 + x \stackrel{!}{=} 0 \]

Jetzt lösen wir die Gleichung nach \(x\) auf. Wir sehen, dass wir durch x teilen können – natürlich nur, wenn \(x \neq 0\).

\[ \frac{1}{5}x + 1 = 0 \]

Dann subtrahieren wir die 1 und multiplizieren mit 5:

 \[ \frac{1}{5}x = -1 \]

 \[ x=-5 \]

Jetzt haben wir eine Lösung gefunden. Für \(x=-5\) haben wir eine Nullstelle. Gehen wir nochmals zurück zur Ursprungsgleichung \(\frac{1}{5}x^2 + x = 0\). Wenn \(x=0\) ist die Gleichung erfüllt, d.h. \(x=0\) ist die zweite Lösung.

Lösungsmenge

Schauen wir uns die Abbildung genauer an. Wir sehen den Verlauf einer quadratischen Funktion (Parabel). Dann sehen wir, dass wir zwei Nullstellen bei A1 und A2 haben und einen Scheitelpunkt bei B.

Wir wissen, dass wir die Nullstellen erhalten, wenn wir die Funktion mit null gleichsetzen:

\[ y(x)=ax^2+bx+c \stackrel{!}{=} 0 \]

Wir formulieren die linke Seite um und bringen sie in die Produktform. Dabei ändern wir an ihr nichts, wir schreiben sie nur in Form eines Produkts nochmals hin, ohne, dass sich ihr Wert ändert (ähnlich, wie z.B. \(6=4+2\) in der Produktform als \(6=2 \cdot 3\) geschrieben werden kann).

\[ y(x)=d(x-x_1)(x-x_2) = 0 \]

Jetzt muss einer der Faktoren null sein, und die Gleichung ist erfüllt. Auf diese Wiese kriegen wir die beiden Nullstellen bei \(x_1\) und \(x_2\). Aber das wissen wir ja alles schon! Das Gleichsetzen mit dem Wert null ist nichts anderes als das Verlangen, dass die Parabel mit der Geraden \(y=0\) sich schneiden soll. Im Graphen sehen wir, dass das an zwei Orten der Fall ist und wir haben zwei Lösungen.\\

Wir verlangen jetzt aber, dass die Parabel mit der Höhe der grünen Geraden \(y=-1.56\) geschnitten wird. Wenn wir diese Höhe ganz genau einstellen, berühren wir die Parabel nur gerade in einem Punkt, d.h. die Gleichung…

\[ y(x)=ax^2+bx+c \stackrel{!}{=} -1.56 \]

Wir gehen noch einen Schritt weiter und verlangen:

\[ y(x)=ax^2+bx+c \stackrel{!}{=} -3 \]

Die Höhe \(y=-3\) ist in der Abbildung rot eingezeichnet. Die Lösung dieser Gleichung ist die leere Menge. Es gibt keinen \(x\)-Wert, der diese Gleichung erfüllen vermag:

\[ \boldsymbol{L}=\bigl \{\;\; \bigr \} \]

Quadratische Gleichungen können 0, 1 oder 2 Lösungen haben, die den Schnittpunkten der Parabel mit einem zweiten Funktionsgraphen entspricht.

Beachte, dass wir nicht nur mit horizontalen Geraden schneiden müssen. Wir können durchaus auch mit einer allgemeinen (schrägen und verschobenen) linearen Funktion schneiden oder mit einer anderen Parabel, mit einer Potenzfunktion, Wurzelfunktion etc.

Lösen von quadratischen Gleichungen

Für das Lösen von quadratischen Gleichungen werden die Lösungstechniken in folgender Reihenfolge angewandt:

1. Wurzel ziehen von der ganzen Gleichung
2. Klammeransatz
3. Quadratisches Ergänzen
4. Allgemeine Lösungsformel (“Mitternachtsformel”)

Wenn kein Mischterm (Unbekannte in der ersten Potenz) vorhanden ist, können wir die Wurzel von der ganzen Gleichung ziehen, d.h. wir ziehen die Wurzel von der linken Seite, wie auch von der rechten Seite:

\[ x^2 = 9 \quad \rightarrow \quad x = \pm 3 \]

Meistens ist aber ein Mischterm vorhanden, so dass wir zur zweiten Technik greifen müssen, dem Klammeransatz. Hier versuchen wir durch Raten ein geeignetes Zahlenpaar zu finden, das…

• …addiert den Faktor des Mischterms ergeben
• …multipliziert den Faktor des letzten Terms ergeben

Bei gewissen Gleichungen schaffen wir es nicht, das geeignete Zahlenpaar zu erraten. In diesem Fall müssen wir die dritte Technik anwenden: Das quadratische Ergänzen (Bitte konsultiere diesen Artikel für mehr Details)

Eigentlich sollte die Methode des quadratischen Ergänzens immer funktionieren, aber manchmal ist sie vielleicht zu mühsam. In diesem Fall gibt es noch das ultimative Mittel: Die Mitternachsformel. Sie liefert uns selbst dann die zwei Lösungen, wenn die Gleichung in \(\mathbb{R}\) keine Lösungen hat, sondern nur in \(\mathbb{C}\) (komplexe Lösungen).