Exponentielle Abklingfunktion

Verschaffen wir uns zuerst einen Überblick, über die Information, die wir aus der Aufgabenstellung haben. Wir stellen dazu eine kleine Tabelle auf. Dabei haben wir den Unterschied von 90°C und 20°C als 100% genommen, d.h. 90% entsprechen 63°C Abkühlung von 90°C aus. Die verbleibenden 10% sind dann 7° über dem Grenzwert von 20°C, d.h. 27°C.

Zeitpunkt \(t\)	0	10 min	?	\(\rightarrow \infty\)
Temperatur \(T\)	90°C	55°C	27°C	20°C

Die Abklingfunktion lautet: \[ T(t) = a \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + b \] Wir haben \(a=90^\circ C – 20^\circ C=70^\circ C\) und \(b=20^\circ C\). Die Zeitkonstante \(\tau\) erhalten wir, aus der Angabe zur Temperatur nach 10 min. Wir kriegen eine Gleichung mit \(\tau\) als einzige Unbekannte: \[ T(t) = 70 \cdot e^{-\frac{10}{\tau}} + 20 \stackrel{!}{=} 55 \] Zuerst subtrahieren wir 20 und dividieren dann durch 70: \[ e^{-\frac{10}{\tau}} = \frac{55-20}{70} \] Jetzt setzen wir die linke und die rechte Seite der Gleichung in den natürlichen Logarithmus, damit wir die Exponentialfunktion loswerden: \[ \ln \Big( e^{-\frac{10}{\tau}} \Big) = \ln \Big( \frac{55-20}{70} \Big) = \ln(0.5) \] \[ -\frac{10}{\tau} = \ln(0.5) \] Wir können jetzt nach der Zeitkonstanten \(\tau\) auflösen und sie berechnen: \[ \tau = \frac{-10}{\ln(0.5)} = \frac{-10}{-0.69315} = 14.43 \; \text{min} \] Jetzt haben wir die komplette Abklingfunktion: \[ \underline{T(t) = 70 \cdot e^{-\frac{t}{14.43}} + 20} \] Um jetzt herauszufinden, wie lange es geht, bis der Kaffee auf 27°C abgekühlt ist, setzen wir einfach die Werte ein und lösen die Gleichung wieder mit den gleichen Tricks nach \(t\) auf: \[ T(t) = 70 \cdot e^{-\frac{t}{14.43}} + 20 \stackrel{!}{=} 27^\circ C \] \[ e^{-\frac{t}{14.43}} = \frac{27-20}{70} = 0.1 \] \[ \ln \Big( e^{-\frac{t}{14.43}} \Big) = -\frac{t}{14.43} = \ln(0.1) \] \[ t = (-14.43) \cdot \ln(0.1) = (-14.43) \cdot (-2.3026) = \underline{33.2 \; \text{min}} \] Die Temperatur des Kaffees erreicht 27°C nach etwas mehr als 33 Minuten.