Wurzelgleichungen

Beispiel

Finde die Lösungsmenge der folgenden Wurzel(un)gleichung:

\[ \sqrt[3]{x-3} \geq 0.2 \]

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Wir schreiben die Ungleichung nochmals hin und ersetzen den Dezimalbruch mit einem echten Bruch:

\[ \sqrt[3]{x-3} \; \geq \; \frac{1}{5} \]

Da die linke Seite eine reine Potenz ist, können wir die Gleichung potenzieren. Wir rechnen beide Seiten hoch drei, so dass links die Wurzel verschwindet:

\[ (x-3) \; \geq \; \Big( \frac{1}{5} \Big)^3 \]

\[ x-3 \; \geq \; \frac{1}{125} \]

Jetzt addieren wir beidseitig mit 3

\[ x \; \geq \; 3 + \frac{1}{125} \]

\[ x \; \geq \; \frac{375 + 1}{125} \]

\[ \underline{x \; \geq \; \frac{376}{125}} \]

Beispiel

Bestimme die Lösungsmenge der Wurzel(un)gleichung:

\[ \frac{6x}{\sqrt[4]{8x}} \; < \; 3 \]

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Die vierte Wurzel im Nenner ist garantiert positiv, da Wurzeln mit geraden Exponenten immer nur positive Werte erzeugen. Wir können deshalb die Gleichung mit \(\sqrt[4]{8x}\) multiplizieren und brauchen uns um das Ungleichheitszeichen keine Sorgen zu machen. Es bleibt schön wie es ist.

\[ 6x \; < \; 3 \cdot \sqrt[4]{8x} \]

Jetzt dividieren wir durch 3, da wir die Wurzel auf der rechten Seite alleine haben wollen.

\[ 2x \; < \; \sqrt[4]{8x} \]

Wir setzen beide Seiten der Gleichung in die vierte Potenz und erhalten so

\[ (2x)^4 \; < \; 8x \]

\[ 16x^4 \; < \; 8x \]

\[ 2x^4 \; < \; x \]

Am Schluss haben wir ja noch mit 8 dividiert. Jetzt ist die Gleichung eine Potenzgleichung. Wir können natürlich mit \(x\) beidseitig dividieren, müssen dann aber beachten, dass \(x\) auch negativ sein könnte. In so einem Fall müssten wir das Ungleichheitszeichen umkehren. Wir betrachten deshalb zwei Fälle:

Fall 1: \(x>0\)

Jetzt dürfen wir mit \(x\) dividieren. Es wird sicher nicht null sein und das Ungleichheitszeichen bleibt auch so, wie es ist:

\[ 2x^3 \; < \; 1 \]

\[ x^3 \; < \; \frac{1}{2} \]

Jetzt ziehen wir die dritte Wurzel:

\[ x \; < \; \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \]

\[ x \; < \; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \]

Wegen der eingangs gemachten Einschränkung ist \(x\) einerseits grösser als null und andererseits kleiner als dieser Bruch, den wir gerade gefunden haben. Die Lösungsmenge ist folgendes Intervall:

\[ \boldsymbol{L_1} = \Big]0,\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\Big[ \]

Fall 2: \(x<0\)

Jetzt dividieren wir durch eine negative Zahl und ändern deshalb die Richtung des Ungleichheitszeichens:

\[ 2x^4 \; < \; x \]

\[ 2x^3 \; > \; 1 \]

Die Rechenschritte sind hier genau gleich wie oben, aber wir haben ein anders gerichtetes Ungleichheitszeichen:

\[ x \; > \; \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \]

Dieses Resultat ist aber mit unserer Annahme \(x<0\) unmöglich zu erfüllen, da sie sich widersprechen. Somit haben wir hier die leere Menge:

\[ \boldsymbol{L_2} = \{ \; \} \]

Wir bringen die beiden Resultate zusammen und haben als Lösungsmenge:

\[ \underline{\boldsymbol{L} = \Big]0,\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\Big[} \]