Ungleichungen

Können Ungleichungen auch algebraisch gelöst werden? Ja, das geht relativ einfach. Wir gehen da genau gleich vor, wie mit Gleichungen, d.h. wir behandeln einfach die linke und die rechte Seite gleich. Es gibt jedoch eine neue Regel, die wir beachten müssen.

Angenommen, wir finden später heraus, dass die Lösung \(x=0\) ist. Momentan wissen wir das aber noch nicht. Wir haben einfach nur folgende Ungleichung:

\[ x < 1 \]

Wir sehen, dass die Ungleichung für den wahren Wert von \(x\) wahr ist. Wenn wir ein paar Äquivalenzumformungen machen, sind die Ungleichungen immer noch erfüllt:

\[ 2x < 2 \]

\[ 2x + 1 < 3 \]

etc.

Wenn wir aber die ursprüngliche Ungleichung mit \((-1)\) multiplizieren, stimmt sie nicht mehr:

\[ \require{cancel}-x \;\;\cancel{<} -1 \]

Beispiel

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung algebraisch:

\[ -x^2-3x+14 \; \geq \; 4 \]

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Als Erstes subtrahieren wir beidseitig den Betrag 4:

\[ -x^2-3x+10 \geq 0 \]

Links können wir \((-1)\) ausklammern:

\[ -(x^2+3x-10) \geq 0 \]

Wenn es eine normale Gleichung wäre, dann würden wir für die quadratische Funktion (links) die Nullstellen suchen. Das tun wir jetzt auch. Wir wenden den Klammeransatz an, denn wir sehen, dass

\[ 5 + (-2) = 3 \quad \text{und} \quad 5 \cdot (-2) = (-10) \]

Somit können wir die quadratische Funktion in ihre Produktform bringen:

\[ -(x+5)(x-2) \geq 0 \]

Wenn es eine Gleichung wäre, hätten wir die beiden Nullstellen \(x_1=-5\) und \(x_2=2\). Wir wissen, dass es eine Parabel ist, und dass sie nach unten gerichtet ist, da wir ganz vorne ein Minuszeichen haben.

Jetzt stellen wir uns ihren Graphen vor: Die Parabel kommt von unten links, kreuzt die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_1=-5\), steigt bis zu ihrem Maximum, dem Scheitelpunkt und fällt dann rechts wieder ab, durchkreuzt die \(x\)-Achse bei \(x_2=2\) und verschwindet unten rechts.

Die linke Seite entspricht dem Funktionswert dieser Parabel, der genau dann grösser oder gleich null ist, wenn er über der \(x\)-Achse ist. Der Bogen mit dem Scheitelpunkt ist dieser Teil, der über der \(x\)-Achse ist. Die Grenzen dieses Bereichs sind die beiden Nullstellen, deshalb gilt:

\[ \underline{\boldsymbol{L} = \big[ -5, 2 \big]} \]

Ander herum gesagt: Die Parabel ist überragt zwischen den beiden Nullstellen die \(x\)-Achse und erfüllt nur dort die Ungleichung. Da es ein Grösser-oder-Gleich-Zeichen ist, erfüllen die Nullstellen die Ungleichung auch, deshalb gehören sie mit zur Lösungsmenge.

Beispiel

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden zwei Ungleichungen algebraisch:

\[ -x(x+1)-10 \; > \; -(x^2+16) \]

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Wir räumen zuerst mal ein bisschen auf. Links multiplizieren wir aus und rechts nehmen wir das Minuszeichen vor der Klammer weg, indem wir für alle Summanden in der Klammer das Zeichen wechseln:

\[ -x^2-x-10 \; > \; -x^2-16 \]

Jetzt addieren wir \(x^2\) und 16:

\[ -x + 6 \; > \; 0 \]

Wir addieren \(x\) und erhalten:

\[ 6 \; > \; x \quad \rightarrow \quad \underline{\boldsymbol{L}=\big]-\infty,6\big[} \]

Wir hätten aber auch 6 subtrahieren können. Anschliessend hätten wir mit \((-1)\) multipliziert, wobei wir hier unbedingt das Zeichen umkehren müssen!

\[ -x \; > \; -6 \]

\[ x \; < \; 6 \quad \rightarrow \quad \underline{\boldsymbol{L}=\big]-\infty,6\big[} \]