Gewinn- und Verlustumformungen

Gewinnumformungen

Wir starten mit der Gleichung \(x+1=2\) und formen sie um, dieses Mal dividieren wir nicht, sondern multiplizieren mit \((x+1)\):

\[ (x+1) \cdot (x+1) \;\; = \;\; 2 \cdot (x+1) \]

Wir multiplizieren beide Seiten aus und erhalten:

\[ x^2 + 2x + 1 \;\; = \;\; 2x + 2 \]

Jetzt subtrahieren wir auf beiden Seiten \(2x\) und 2:

\[ x^2 – 1 \quad = \quad 0 \]

\[ x^2 = 1 \]

Die Gleichung \(x^2=1\) hat zwei Lösungen, denn \(1^2 = 1\) und \((-1)^2 = 1\), d.h. 1 und (-1) erfüllen beide die Gleichung

\[ \boldsymbol{L} = \Bigl \{1, -1 \Bigr \} \]

Wir wissen aber, dass die ursprüngliche Gleichung nur eine Lösung hatte, nämlich \(x=1\). Durch die Multiplikation mit \((x+1)\) haben wir eine zusätzliche Scheinlösung “gewonnen”. Die Umformung war eine Gewinnumformung.

Wenn wir mit \((x+1)\) multiplizieren und \(x=(-1)\), dann multiplizieren wir mit null. Das Dividieren durch null ist verboten, da das Resultat der Division nicht definiert ist. Das Multiplizieren mit null ist keineswegs verboten, jedoch führt eine Multiplikation einer Gleichung auf beiden Seiten mit null automatisch zur Gleichung \(0 = 0\). Die Gleichung ist zwar erfüllt, aber wir haben jegliche Information verloren!

Das ist genau, was passiert ist, als wir mit \((x+1)\) multipliziert haben. Für \(x=(-1)\) haben wir mit null multipliziert und somit die Gleichung “erfüllt”. Daraus haben wir dann fälschlicherweise geschlossen, dass \(x=(-1)\) eine Lösung sein muss, da dieser Wert die Gleichung erfüllt. Es war aber nur eine Scheinlösung. Hätten wir mit z.B. \((x-3)\) multipliziert, hätten wir \(x=3\) als Scheinlösung “gewonnen” etc.

Beispiel

Was ist die Lösungsmenge von \(x^2=-9\)?

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Als Erstes erinnern wir uns an die Bindungsstärke von Potenzen. Die Gleichung muss folgendermassen gelesen werden:

\[ x^2=-(3^2) \]

Links haben wir ein Quadrat von einer unbekannten Grösse. Wir wissen nur, dass das Quadrat null oder eine positive Zahl sein kann. Ein negatives Quadrat ist nicht möglich! Rechts ist aber zwingendermassen negativ. Die Lösungsmenge ist leer:

\[ \boldsymbol{L}=\Bigl \{\,\,\Bigr \} \]

Hätten wir die Gleichung beidseitig quadriert, so hätten wir erhalten:

\[ x^4=81 \]

Die Lösungsmenge davon wäre:

\[ \boldsymbol{L}=\Bigl \{3, -3 \Bigr \} \]

Wir überprüfen die Lösungen und setzen \(x=3\) und \(x=-3\) in die ursprüngliche Gleichung ein:

\[ \require{cancel} \cancel{3^2 = -9} \quad \text{und} \quad \cancel{(-3)^2 = -9} \]

Beide Lösungen erfüllen die Gleichung nicht! Es sind beides Scheinlösungen. Das Quadrieren der Gleichung war eine Gewinnumformung.

Verlustumformungen

Im vorigen Kapitel haben wir die beiden sehr einfachen Gleichungen angeschaut:

\[ x=1 \]

\[ x+1=2 \]

Man kommt von der ersten zur zweiten Gleichung indem man auf beiden Seiten je 1 addiert. Da die Addition auf beiden Seiten geschieht, wird das Gleichgewicht nicht gestört. In diesem Fall bleibt auch die Lösungsmenge die Gleiche. Die Umformung hat nichts verändert und wird deshalb auch äquivalent genannt.

Wir werden jetzt sog. nicht-äquivalente Umformungen anschauen, die einen Einfluss auf die Lösungsmenge haben.

Als Erstes teilen wir die Gleichung \(x+1=2\) durch \((x-1)\) und erhalten:

\[ \frac{x+1}{x-1} = \frac{2}{x-1} \]

Wir haben beide Seiten gleich behandelt und damit das Gleichgewicht nicht gestört. Mit der Division haben wir aber eine Einschränkung in Kauf genommen. \(x\) darf alle Werte ausser 1 haben, denn wenn \(x=1\), dann würden wir durch null teilen und das ist bekanntlich nicht erlaubt. Korrekterweise müssen wir zwei Fälle unterscheiden:

Fall 1: \(x \ne 1\)

\[ \frac{x+1}{x-1} = \frac{2}{x-1} \]

Fall 2: \(x = 1\)

\[ x = 1 \]

Wenn wir eine Einschränkung machen, müssen wir uns dann immer auch den komplementären Fall anschauen, damit wir immer alle Fälle abdecken. Im ersten Fall haben wir immer noch die Gleichung und wir dividieren nicht durch null, da wir \(x \neq 1\) fordern – da ist alles in Ordnung. Im zweiten Fall brauchen wir die Gleichung von oben gar nicht mehr, denn \(x=1\) ist bereits die Lösung: \(x=1\).

Im Fall 1 haben wir zwar immer noch eine Gleichung, aber die Lösungsmenge ist leer! Die beiden Zähler können nur gleich sein, wenn \(x=1\) ist und genau das haben wir aber ausgeschlossen.

Fall 1: \(x \ne 1\)

\[ \boldsymbol{L} = \Bigl \{\,\,\Bigr \} \]

Fall 2: \(x = 1\)

\[ \boldsymbol{L} = \Bigl \{\,1\,\Bigr \} \]

Hätten wir den zweiten Fall nicht mitberücksichtigt, dann hätten wir die eine Lösung der Ursprungsgleichung verloren. Das Dividieren durch \((x-1)\) hat die Lösungsmenge verkleinert. Es handelt sich deshalb um eine Verlustumformung.