Funktionsgleichungen

Wir werden jetzt die etwas umständliche Schreibweise für Funktionen vereinfachen und uns darauf konzentrieren, was die Funktion mit dem Input macht. Statt…

\[ f\colon \boldsymbol{D} \rightarrow \boldsymbol{W},\;x \mapsto y \]

…schreiben wir jetzt eine Funktionsgleichung:

\[ f\colon \; x \; \mapsto \; y=f(x) \]

oder einfach

\[ y=f(x) \]

Funktionsgleichungen werden oft abgekürzt geschrieben:

\[ \quad y(x)=…x… \quad \text{oder} \quad f(x)=…x… \]

Auf der rechten Seite steht, wie der Funktionswert mit Hilfe des Arguments \(x\) berechnet wird.

Ohne spezielle Erwähnung wird meistens davon ausgegangen, dass \(x\) uneingeschränkt alle Werte in \(\mathbb{R}\) annehmen kann. Die Funktion ist meistens \(f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\).

Beispiel

Ein Gipfeli kostet CHF 0.90 pro Stück. Wie lautet die Funktion \(f\), die die Kosten \(k\) von \(n\) Gipfelis berechnet?

\[ f \colon n \mapsto k \]

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Der Input der Funktion \(f\) ist die Anzahl Gipfelis \(n \in \mathbb{N}\) und der Output der Funktion sind die Kosten \(k \in \mathbb{Q}\) für die Gipfelis. Die Funktionsgleichung lautet:

\[ \underline{k(n) = n \cdot 0.90} \]

Man liest die Funktionsgleichung wie folgt: “\(k\) von \(n\) ist gleich dem Produkt von \(n\) und dem Stückpreis 0.90.” Du kannst einfach eine beliebige Anzahl \(n\) Gipfelis in die Funktion “einwerfen” und kriegst dann als Output den Preis \(k\) dafür, z.B. \(k(3)\)=2.70

Beispiel

Eine Funktion ist durch folgende Funktionsgleichung gegeben:

\[ f(x)=x^2 + x \]

Wie lauten die Funktionswerte der folgenden Argumente?

a) \(f(1)\), \(\quad\) b) \(f(-2)\), \(\quad\) c) \(f(0)\), \(\quad\) d) \(f(\sqrt{2})\), \(\quad\) e) \(f(a)\)

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Wir müssen einfach das Argument in die Funktionsgleichung einsetzen:

a) \( f(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = \underline{2}\)

b) \( f(-2) = (-2)^2 + (-2) = 4 – 2 = \underline{2}\)

c) \( f(0) = 0^2 + 0 = 0 + 0 = \underline{0}\)

d) \( f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} = \underline{2 + \sqrt{2}}\)

e) \( f(a) = \underline{a^2 + a}\)