Faktorregel der Differenzialrechnung / Differentialrechnung

Funktionen enthalten oft einen konstanten Faktor. Wir können die Funktion \(f\) schreiben als Produkt \(f(x)=c \cdot f_1(x)\). Die Ableitung konzentriert sich nur auf die Teilfunktion \(f_1\). Den Faktor können wir tatsächlich ausklammern. 

\[ f(x)=c \cdot f_1(x) \]

\[ f(x+\Delta x)=c \cdot f_1(x+\Delta x) \]

Damit erhalten wir den Differentialquotienten:

\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(\frac{c \cdot f_1(x+\Delta x)-c \cdot f_1(x)}{\Delta x}\Big) \]

Wir klammern jetzt den Faktor \(c\) aus. Wir können ihn sogar aus dem Limes herausnehmen, denn er ist ja konstant und damit völlig unabhängig von \(\Delta x\):

\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(c \cdot \frac{f_1(x+\Delta x)-f_1(x)}{\Delta x}\Big) \]

\[ = c \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Big(\frac{f_1(x+\Delta x)-f_1(x)}{\Delta x}\Big) \]

Der Limes entspricht der Ableitung von \(f_1\) und wir erhalten genau das, was die Faktorregel besagt:

\[ \frac{d}{dx}\Big(c\cdot f_1(x)\Big) = c \cdot \Big(\frac{d}{dx} f_1(x) \Big) \]