Dreieck

Beschreibung Das Dreieck ist die einfachste Figur von geraden Linien in der Ebene. Dreiecke sind gerade deshalb so wichtig, weil wir sehr viele andere Figuren mit Hilfe von Dreiecken beschreiben können. Ein Viereck ist ja nichts anderes als zwei zusammengesetzte Dreiecke. Ein Fünfeck besteht als zwei Dreiecken usw. Ein ganz allgemeines Dreieck besteht als folgenden…

Satz des Pythagoras

Pythagoras von Samos (ca. 570 v. Chr. – 510 v. Chr.) war ein antiker griechischer Philosoph und Gründer einer einflussreichen religiös-philosophischen Bewegung. Vieles zu seiner Person ist umstritten oder Stoff von Legenden. Er gilt aber als einer der Begründer der Geometrie bzw. Mathematik. Der griechische Mathematiker Euklid von Alexandria lebte wahrscheinlich im 3. Jahrhundert v….

Höhensatz

Der Höhensatz ist der zweite Satz in der Satzgruppe des Pythagoras. Er zeigt, wie die Höhe \(h\) die Grundseite in zwei Streckenabschnitte \(p\) und \(q\) aufteilt. Beachten Sie, dass es sich auch hier um ein rechtwinkliges Dreieck handeln muss. Höhensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Höhe dem Produkt der beiden Streckenabschnitte \(p\)…

Kathetensatz

Der Kathetensatz ist der dritte Satz in der Satzgruppe des Pythagoras. Er stellt eine Beziehung her zwischen einer Kathete und ihrem zugehörigen Streckenabschnitt \(p\) bzw. \(q\) auf der Hypotenuse. Kathetensatz: Das Quadrat der Kathete \(a\) entspricht dem Produkt der Hypotenuse \(c\) und dem entsprechenden Streckenabschnitt auf der Hypotenuse: \[a^2 = p \cdot c \] \[b^2…

Gleichung eines Kreises

Ein Kreis ist eine Punktschar mit unendlich vielen Punkten, die alle eine gemeinsame Eigenschaft haben. Sie sind alle gleich weit von einem bestimmten Punkt entfernt, nämlich dem Zentrum \(Z\) des Kreises. Der für alle Kreispunkte gleiche Abstand vom Zentrum heisst Radius \(r\). Schauen wir uns ein Beispiel an: Das Zentrum hat die Koordinaten \(Z(2,3)\) und…

Gleichung einer Kugel

Die Punkte auf der Kugeloberfläche haben eines gemeinsam: Sie haben alle den gleichen Abstand zum Kugelzentrum \(Z\) und dieser Abstand heisst Radius der Kugel \(r\). Die Kugel ist in drei Dimensionen das, was der Kreis in zwei Dimensionen ist. Wir können deshalb unsere Überlegungen vom Kreis jetzt auf drei Dimensionen übertragen. Die nachstehende Grafik zeigt…

Sinussatz

Wenn wir rechtwinklige Dreiecke analysieren, können wir mit den trigonometrischen Funktionen meistens alles berechnen. Leider sind die Dreiecke sehr oft nicht rechtwinklig. Mit dem Sinussatz können wir auch in einem allgemeinen Dreieck Gleichungen über die Winkel und Seitenlängen aufstellen und so, möglicherweise, das Dreieck berechnen. In der folgenden Abbildung ist ein allgemeines Dreieck gezeichnet. Der…

Kosinussatz

Den Satz von Pythagoras kennst du ja bereits bestens. Er ist relativ einfach und sehr praktisch, jedoch ist er auf rechtwinklige Dreiecke eingeschränkt. Sobald wir ein ganz allgemeines Dreieck haben, können wir weder Pythagoras, noch die trigonometrischen Funktionen einsetzen, da wir weder Katheten, noch eine Hypotenuse haben. Der Kosinussatz ist quasi der verallgemeinerte Satz von…

Kreis

Kreis

Kreisumfang Jetzt wo wir die Zahl \(\pi\) haben, können wir den Umfang eines Kreises berechnen. Wenn \(\pi\) gleich dem Verhältnis von Kreisumfang \(U\) zu Durchmesser \(d\) ist, dann folgt aus der Gleichung die Formel für den Kreisumfang \(U\), wobei wir den Durchmesser auch mit dem doppelten Radius \(2r\) ersetzen können: \[ \pi = \frac{U}{d} \quad…

Prisma

Volumen Ein Prisma entsteht, wenn ein regelmässiges oder unregelmässiges Vieleck im Raum parallelverschoben wird. Die Grundseite und die Oberseite sind zwei identische Vielecke in zwei parallelen Ebenen. Die Seitenflächen sind Rechtecke oder Parallelogramme, je nachdem ob die Parallelverschiebung senkrecht zur Grundseite oder schräg dazu statt gefunden hat. Im den zwei folgenden Beispielen wurden zwei regelmässige…

Zylinder

Der Zylinder hat einen Kreis als Grundfläche. Er kann, wie das Prisma, gerade oder scheif sein. Auch hier sind, gemäss dem Prinzip von Cavalieri, die Grundfläche und die Höhe entscheidend. Wie beim Prisma, ist auch hier das Volumen gleich dem Produkt von Grundfläche mal Höhe, denn eigentlich ist der Zylinder ein Prisma mit der Grundfläche…

Pyramide

Die Pyramide ist definiert als ein Polygon, das die Grundfläche bildet. Dieses kann regelmässig oder unregelmässig sein. Dann führen die Kanten von den Polygonecken zur Spitze der Pyramide. Oder anders herum: von der Spitze der Pyramide führen Strahlen zu den Ecken des Polygons und bilden die Kanten. Die Pyramide kann gerade oder schief sein. Die…

Kegel

Genauso wie wir aus dem Prisma einen Zylinder gemacht haben, können wir aus einer Pyramide einen Kegel machen. Die Grundfläche ist ein Kreis, d.h. näherungsweise ein \(n\)-Eck mit einer extrem grossen Zahl Ecken bzw. \(n \rightarrow \infty\). Wenn der Kegel also eine Pyramide mit einem \(n\)-Eck als Grundfläche ist (\(n \rightarrow \infty\)), dann können wir…

Kugel

Kugel finden wir sehr oft in der Natur, meistens aus dem Grund, dass die Kugel der Körper ist, der für ein gegebenes Volumen die kleinst mögliche Oberfläche hat. Aus energetischen Gründen ist das ein Optimum, das z.B. den Wassertropfen, Seifenblasen, Planeten und auch unserer Sonne dann schliesslich die Form gibt. Auch hat die Kugel eine…

Innere und äussere Teilung

Innere Teilung In der obigen Abbildung wird eine gegebene Strecke im Verhältnis \(3:2\) aufgeteilt, d.h. die Strecke \(\overline{AB}\) soll durch den Punkt \(P\) so geteilt werden, dass \[ \frac{\;\;\overline{AP}\;\;}{\overline{PB}}=\frac{\;3\;}{2} \] Die Konstruktion ist ähnlich zur einfachen Teilung. Konstruktion Beispiel Wie konstruieren Sie 37.5% einer gegebenen Strecke? Die gegebene Strecke muss in zwei Stücke von 37.5%…

Harmonische Teilung

Wenn wir die innere und die äussere Teilung einer Strecke mit dem gleichen Verhältnis durchführen, wird die Strecke harmonisch geteilt mit den beiden Teilungspunkten \(P\) und \(Q\). Die Verhältnisse der Teilstrecken sind: \[ \frac{\;\overline{AP}\;}{\overline{PB}} = \frac{\;\overline{AQ}\;}{\overline{BQ}} \] Anwendung Mit Hilfe der harmonischen Teilung kann die Aufteilung einer Strecke in zwei gleich lange Teilstrecken in die…

Umkehrung der Strahlensätze

Erster Strahlensatz Wir erinnern uns, dass der Erste Strahlensatz besagt: “Wenn zwei Strahlen von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, dann stehen die Strecken auf den Strahlen im gleichen Verhältnis zueinander.” Die Umkehrung würde demnach lauten: “Wenn die Strecken auf den Strahlen im gleichen Verhältnis zueinander stehen, dann sind die beiden Geraden, die die Strahlen schneiden,…

Ähnlichkeit

Bei der zentrischen Streckung haben wir jeweils drei zusammengehörende Punkte gestreckt und damit ähnliche Dreiecke produziert. Statt 3 Punkten können wir auch irgendeine Anzahl \(n\) Punkte und irgendein \(n\)-Eck zentrisch strecken. Die gestreckten Figuren sind um den Streckungsfaktor \(k\) gestreckt oder gestaucht, aber sie erscheinen uns immer noch “gleich” – die verschiedenen Figuren sind geometrisch…