Nullstellen Unter Nullstellen verstehen wir die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der \(x\)-Achse. Die \(x\)-Achse zeichnet sich dadurch aus, dass die \(y\)-Werte null sind, d.h. unsere Funktion kreuzt die \(x\)-Achse, wenn der Funktionswert null ist. Wir erhalten die Nullstellen, indem wir die Funktionsgleichung auf null setzen. Beachte, dass grundsätzlich mehr als eine Nullstelle möglich ist, d.h….
Bachte: Die Bezeichnung \(f^{-1}\) ist als Umkehrfunktion von \(f\) zu lesen. Es hat nichts mit einer Potenz oder einem Kehrwert zu tun. \[ f^{-1} \neq \frac{1}{f} \] Bestimmung einer Umkehrfunktion Im Artikel zu den Funktionen habe ich erwähnt, dass ich mir als Schüler damals die Funktionen wie einen Getränkeautomaten vorgestellt habe. Ich werfe eine Münze…
Mit der Abklingfunktion ist ein exponentieller Zerfall gemeint, der sich einem Grenzwert nähert. Solche Verläufe über die Zeit sind in den Naturwissenschaften und in der Technik sehr verbreitet. Die Abklingfunktion kann aber auch eine Funktion des Ortes sein, z.B. wenn die Temperatur oder die Konzentration eines Stoffs mit zunehmendem Abstand abnimmt. Es gibt unendlich viele…
Zuerst schauen wir uns die Potenzfunktionen mit Exponenten 0, 1 und 2 an. Die grüne Linie wird beschrieben durch die nullte Potenz: \(f(x)=x^0=1\). Sie ist immer genau eins, egal welches \(x\) wir anschauen. Die blaue Linie ist definiert durch die erste Potenz: \(g(x)=x^1=x\). Es ist eine lineare Funktion mit Steigung eins und Achsabschnitt null. Schliesslich…
Gleichungen und Unbekannte Wie würdest du eine Gleichung definieren? Vermutlich etwas in der Art: Es gibt eine linke und einer rechte Seite. In der Mitte ist ein Gleichheitszeichen, das uns zeigt, dass beide Seiten den gleichen Wert haben. \[ 1=1 \] Das wäre eine Gleichung, aber sie bringt uns nichts, denn links und rechts steht…
Die Lösung einer Gleichung oder einer Ungleichung kann auch als Menge ausgedrückt werden. Beim einfachen Beispiel der Gleichung \(x+1=4\) ist die einzige Lösung \(x=3\). In der Mengenschreibweise sagen wir: “Die Menge aller Lösungen \(\boldsymbol{L}\) enthält das Element 3” \[ \boldsymbol{L} = \bigl \{ 3 \bigr \} \] Das bringt in diesem Fall keine Vorteile, ist…
Wir starten mit der Gleichung \(x+1=2\) und formen sie um, dieses Mal dividieren wir nicht, sondern multiplizieren mit \((x+1)\): \[ (x+1) \cdot (x+1) \;\; = \;\; 2 \cdot (x+1) \] Wir multiplizieren beide Seiten aus und erhalten: \[ x^2 + 2x + 1 \;\; = \;\; 2x + 2 \] Jetzt subtrahieren wir auf beiden…
Im vorigen Kapitel haben wir die beiden sehr einfachen Gleichungen angeschaut: \[ x=1 \] \[ x+1=2 \] Man kommt von der ersten zur zweiten Gleichung indem man auf beiden Seiten je 1 addiert. Da die Addition auf beiden Seiten geschieht, wird das Gleichgewicht nicht gestört. In diesem Fall bleibt auch die Lösungsmenge die Gleiche. Die…
Lineare Gleichungen können grafisch mit Linien dargestellt werden. Wenn wir die grafische Methode benutzen, um Lösungen zu finden und die Linien gerade sind, so gibt es folgende Möglichkeiten: 1) Die beiden Linien schneiden sich in einem Punkt, der der Lösung entspricht. 2) Die beiden Linien sind parallel und schneiden sich deshalb nie. Es gibt keine…
In einer quadratischen Gleichung ist die zweite Potenz die höchste vorkommende Potenz. Es ist eine Potenzgleichung zweiten Grades. Beispiele von quadratischen Gleichungen in \(x\): \[ y=x^2 \qquad y=x^2+2x+1 \qquad y=a^4x^2 \] \[ y=-x^2+1 \qquad x^2=3 \] Quadratische Gleichungen werden im Diagramm als Parabeln dargestellt. Parabeln sind symmetrische Kurven. Ihre vertikale Symmetrieachse geht durch den sog….
Herleitung Meistens haben wir nur die quadratische Gleichung vor uns und wissen nicht, wie sie als Graph aussieht. Wir wissen auch nicht, ob wir zwei, eine oder gar keine Lösung haben. Wir werden eine ganz allgemeine quadratische Gleichung lösen und daraus eine ganz allgemeine Lösung herleiten. Es ist nicht die Idee, dass du diese Herleitung…
Kannst du in der folgenden Gleichung die Wurzel ziehen? \[ x^2 + 2x + 1 = 9 \] \[ \rightarrow \quad \pm\sqrt{x^2 + 2x + 1} = 3 \] Nein, noch nicht direkt. Die Summe und der \(+2x\)-Term verunmöglichen ein einfaches Lösen. Wir benutzen deshalb zuerst die binomische Formel und erhalten eine Form, für welche…
Anzahl Lösungen von Potenzgleichungen Gleichungen mit Potenzen, die grösser sind als 2 nennen wir einfach allesamt Potenzgleichungen (streng genommen gehören die linearen und quadratischen Gleichungen eigentlich ja auch zu den Potenzgleichungen, denn sie haben die Potenzen \(x^1\) und \(x^2\)). Wenn lineare Gleichungen bis zu einer Lösung, quadratische Gleichungen bis zu zwei Lösungen haben, dann liegt…
Auch in der Mathematik gibt es das Konzept der Tarnung. Im Tierreich dient die Tarnung als Schutz, damit das getarnte Tier vom Räuber nicht erkannt wird. In der Mathematik bist du der Räuber (!) und die Gleichung hat sich aber so gut getarnt, dass du nicht weisst, um welche Art von Gleichung es sich handelt…
Grundform Ob wir Spannungen im Material von Brücken, Hochhäusern, in Maschinenteilen, im Flugzeugbau etc. berechnen oder an Klima- und Wettermodellen arbeiten. Wir haben immer mit Gleichungssystemen zu tun. Was ist ein lineares Gleichungssystem? Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehr als einer linearen Gleichung, die alle gleichzeitig erfüllt sein müssen und so ein System bilden….
Der Unterschied zwischen den beiden Methoden ist nicht sehr gross. Die Methode des Einsetzens ist ein bisschen eleganter und praktischer als die des Gleichsetzens. Wir schauen uns wieder dasselbe lineare Gleichungssystem an, lösen es dieses Mal mit Einsetzen. \[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 3x – 5y = 9 \quad (1) \\ \;\;x + 4y = 8 \quad …
Was darf man beim Gauss-Verfahren? Beim Additionsverfahren nach Gauss (oft auch “Eliminationsverfahren nach Gauss” genannt), nutzen wir den Vorteil, dass das Addieren von Gleichungen und das Multiplizieren von Gleichungen mit einem Faktor nichts an der Lösungsmenge der Gleichungen ändert (es sind sog. Äquivalenzumformungen). Wir vergewissern uns davon mit einem kleinen Beispiel: Die offensichtliche Gleichung (1)…
Das folgende Gleichungssystem ist auf den ersten Blick nicht linear. Mit Hilfe einer Substitution können wir ein lineares Gleichungssystem entdecken, das sich dahinter versteckt: \[ \begin{cases} \begin{array}{rcll}-x^2 (y+1) + 6 & \;\; = \;\; & 4(y+1) & \quad (a) \\x^2 – \frac{1}{y+1} & \;\; = \;\; & 1 & \quad (b) \\\end{array} \end{cases} \] Zuerst…
Das folgende Gleichungssystem ist wegen der Quadrate offensichtlich nicht linear. Wir haben drei Unbekannte, d.h. wir können die Lösung im dreidimensionalen Raum veranschaulichen. Im dreidimensionalen Raum stellt dann eine Gleichung eine Punktschar dar, die eine Fläche ausmacht. Die erste Gleichung ist die Fläche einer Kugel mit Zentrum im Ursprung und mit Radius \(R=2\). Die zweite…
Ich habe mir als Schüler damals die Funktionen wie einen Getränkeautomaten vorgestellt. Ich werfe eine Münze ein und der Automat gibt eine Cola-Flasche heraus. Werfe ich z.B. eine kleinere Münze ein, so kriege ich “nur” ein Wasser. Die Analogie stimmt aber nur dann, wenn wir einen etwas vereinfachten Automaten haben, der aufgrund der nur aufgrund…
Wir werden jetzt die etwas umständliche Schreibweise für Funktionen vereinfachen und uns darauf konzentrieren, was die Funktion mit dem Input macht. Statt… \[ f\colon \boldsymbol{D} \rightarrow \boldsymbol{W},\;x \mapsto y \] …schreiben wir jetzt eine Funktionsgleichung: \[ f\colon \; x \; \mapsto \; y=f(x) \] oder einfach \[ y=f(x) \] Funktionsgleichungen werden oft abgekürzt geschrieben: \[…
Die Eigenschaft gerade oder ungerade zu sein, ist nur für wenige Funktionen anwendbar. Die meisten Funktionen sind weder noch. Es ist aber eine wichtige und nützliche Eigenschaft, die wir immer wieder verwenden werden. Deshalb ist es wichtig, diese Eigenschaft zu kennen. Gerade Funktionen sind spiegelsymmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse: \[ f(x) = f(-x) \] Ungerade Funktionen…
Eine Funktion ist monoton steigend, wenn sie immer zunimmt oder mindestens gleich bleibt, aber nie abnimmt. Analog gilt eine Funktion als monoton fallend, wenn sie immer nur gleich bleibt oder abnimmt, aber nie zunimmt. Unter streng monoton steigend oder fallend, verstehen wir immer steigend oder fallend und schliessen damit den Fall aus, in welchem die…
Funktionsgraphen, die durch kontinuierliche Punktscharen \textit{ohne} Unterbruch beschrieben werden, heissen stetig. Die Stetigkeit kann an bestimmten Punkten, den sog. Unstetigkeitsstellen, unterbrochen sein: Beispiel Finde die Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktion. Um welche Art von Unstetigkeitsstellen handelt es sich? \[ f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x-24} \] Wir erhalten die Unstetigkeitsstelle, indem wir das Nennerpolynom null stellen: \[ x^2-2x-24 \;…
Die Funktion weist dem Wert \(x\) einen Funktionswert zu, den nennen wir \(f(x)\) und diesen weisen wir \(y\) zu. Im \(x,y\)-Koordinatensystem haben wir eine Zuordnung durch \(f\) von einem bestimmten Wert \(x_0\) auf den Wert \(y_0\): \[ y_0 = f(x_0) \] Wir können das für alle Werte von \(x\) wiederholen und erhalten dann eine Punkteschar…
Verschiebung in vertikaler Richtung Wir können den Funktionsverlauf im Koordinatensystem sehr einfach nach oben oder unten verschieben. Es reicht den Verschiebungsbetrag zum Funktionswert \(y=f(x)\) zu addieren und schon verschieben sich alle Punkte nach oben. Deshalb wird für eine Verschiebung nach oben, einfach der Betrag \(d\), um welchen die Funktion nach oben verschoben werden soll, hinzuaddiert,…
Funktionen vertikal strecken und stauchen Wenn wir jeden Funktionswert mit einem Faktor \(k\) multiplizieren, dann wird der Verlauf der Funktion von der \(x\)-Achse her nach oben gestreckt. Sie wird aber auch unterhalb der \(x\)-Achse nach unten gestreckt, denn die negativen Funktionswerte werden mit den Streckfaktor multipliziert und sind dann noch negativer. Streckung des Funktionsverlaufs in…
Wir kennen die linearen Gleichungen schon: Sie werden als Gerade dargestellt. Eine gerade Linie kann in einem beliebigen Winkel an einer beliebigen Stelle liegen. Wir schauen uns jetzt an, wie das mathematisch formuliert werden kann. Als Erstes geht es um den Winkel bzw. um die Steigung der Gerade. Die Steigung antwortet auf die Frage: Wie…
Lineare Funktionen gehören zwar zu den einfacheren Funktionen. Sie sind aber vermutlich die meist verbreiteten Funktionen überhaupt. Wie der Name sagt, bilden lineare Funktionen Verläufe von geraden Linien. Alle anderen Funktionen werden einfach mit nicht linear bezeichnet, womit ein meist unbekannter, ”gekrümmter” Verlauf gemeint ist. Lineare Grundfunktion Das typische Merkmal der linearen Grundfunktion ist die…
Ausrichtung der Parabel Quadratische Funktionen haben Parabeln als Graphen. Die Parabeln verlaufen, wenn sie ein positives Vorzeichen haben, von \(+\infty\) zu einem Minimum und wachsen dann wieder an bis \(+\infty\). Die Parabeln sind in diesem Fall nach oben offen. Ist das Vorzeichen negativ, ist die Parabel nach unten offen und hat irgendwo ein Maximum. Der…
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