Das Wichtigste in Kürze Wenn eine Funktion aus einem Argument den Funktionswert produziert, dann mach die Umkehrfunktion genau das Umgekehrte: Sie macht aus dem wieder ein : Weil die Umkehrfunktion die umgekehrte Wirkung einer Funktion hat, ist heben sich Funktion und Umkehrfunktion gegenseitig auf: Ableitung Umkehrfunktion Wenn die Umkehrfunktion…
Das Wichtigste in Kürze Die exponentielle Abklingfunktion (auch ‘beschränktes Wachstum nach unten’ genannt) hat die folgende Funktionsgleichung: Sie wird durch drei Parameter definiert: Mit der Abklingfunktion ist ein exponentieller Zerfall gemeint, der sich einem Grenzwert nähert. Solche Verläufe über die Zeit sind in den Naturwissenschaften und in der Technik sehr verbreitet. Die Abklingfunktion…
Zuerst schauen wir uns die Potenzfunktionen mit Exponenten 0, 1 und 2 an. Die grüne Linie wird beschrieben durch die nullte Potenz: . Sie ist immer genau eins, egal welches wir anschauen. Die blaue Linie ist definiert durch die erste Potenz: . Es ist eine lineare Funktion mit Steigung eins und Achsabschnitt null. Schliesslich haben…
Gleichungen und Unbekannte Wie würdest du eine Gleichung definieren? Vermutlich etwas in der Art: Es gibt eine linke und einer rechte Seite. In der Mitte ist ein Gleichheitszeichen, das uns zeigt, dass beide Seiten den gleichen Wert haben. Das wäre eine Gleichung, aber sie bringt uns nichts, denn links und rechts steht einfach…
Die Lösung einer Gleichung oder einer Ungleichung kann auch als Menge ausgedrückt werden. Beim einfachen Beispiel der Gleichung ist die einzige Lösung . In der Mengenschreibweise sagen wir: “Die Menge aller Lösungen enthält das Element 3″ Das bringt in diesem Fall keine Vorteile, ist aber bei Gleichungen mit mehreren Lösungen sehr praktisch. Beispiel…
Wir starten mit der Gleichung und formen sie um, dieses Mal dividieren wir nicht, sondern multiplizieren mit : Wir multiplizieren beide Seiten aus und erhalten: Jetzt subtrahieren wir auf beiden Seiten und 2: Die Gleichung hat zwei Lösungen, denn und , d.h. 1 und (-1) erfüllen beide…
Im vorigen Kapitel haben wir die beiden sehr einfachen Gleichungen angeschaut: Man kommt von der ersten zur zweiten Gleichung indem man auf beiden Seiten je 1 addiert. Da die Addition auf beiden Seiten geschieht, wird das Gleichgewicht nicht gestört. In diesem Fall bleibt auch die Lösungsmenge die Gleiche. Die Umformung hat…
Lineare Gleichungen können grafisch mit Linien dargestellt werden. Wenn wir die grafische Methode benutzen, um Lösungen zu finden und die Linien gerade sind, so gibt es folgende Möglichkeiten: 1) Die beiden Linien schneiden sich in einem Punkt, der der Lösung entspricht. 2) Die beiden Linien sind parallel und schneiden sich deshalb nie. Es gibt keine…
In einer quadratischen Gleichung ist die zweite Potenz die höchste vorkommende Potenz. Es ist eine Potenzgleichung zweiten Grades. Beispiele von quadratischen Gleichungen in : Quadratische Gleichungen werden im Diagramm als Parabeln dargestellt. Parabeln sind symmetrische Kurven. Ihre vertikale Symmetrieachse geht durch den sog. Scheitelpunkt. Aufrechte Parabeln haben im Scheitelpunkt ein Minimum….
Herleitung Meistens haben wir nur die quadratische Gleichung vor uns und wissen nicht, wie sie als Graph aussieht. Wir wissen auch nicht, ob wir zwei, eine oder gar keine Lösung haben. Wir werden eine ganz allgemeine quadratische Gleichung lösen und daraus eine ganz allgemeine Lösung herleiten. Es ist nicht die Idee, dass du diese Herleitung…
Kannst du in der folgenden Gleichung die Wurzel ziehen? Nein, noch nicht direkt. Die Summe und der -Term verunmöglichen ein einfaches Lösen. Wir benutzen deshalb zuerst die binomische Formel und erhalten eine Form, für welche wir die Wurzel ziehen können. In diesem Beispiel hatten wir…
Anzahl Lösungen von Potenzgleichungen Gleichungen mit Potenzen, die grösser sind als 2 nennen wir einfach allesamt Potenzgleichungen (streng genommen gehören die linearen und quadratischen Gleichungen eigentlich ja auch zu den Potenzgleichungen, denn sie haben die Potenzen und ). Wenn lineare Gleichungen bis zu einer Lösung, quadratische Gleichungen bis zu zwei Lösungen haben, dann liegt der…
Auch in der Mathematik gibt es das Konzept der Tarnung. Im Tierreich dient die Tarnung als Schutz, damit das getarnte Tier vom Räuber nicht erkannt wird. In der Mathematik bist du der Räuber (!) und die Gleichung hat sich aber so gut getarnt, dass du nicht weisst, um welche Art von Gleichung es sich handelt…
Das Wichtigste in Kürze Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichung, die alle gleichzeitig erfüllt sein müssen. Die Gleichungen enthalten in der Regel mehr als eine Unbekannte. Das System wird in der Grundform geschrieben, indem links die geordneten Unbekannten (z.B. und ) mit Zahlen-Koeffizienten (, und ) stehen und rechts stehen. Allgemeines lineares…
Der Unterschied zwischen den beiden Methoden ist nicht sehr gross. Die Methode des Einsetzens ist ein bisschen eleganter und praktischer als die des Gleichsetzens. Wir schauen uns wieder dasselbe lineare Gleichungssystem an, lösen es dieses Mal mit Einsetzen. Mit der Gleichung (2) können wir einen Ausdruck für gewinnen: Von jetzt an…
Das Wichtigste in Kürze Lineare Gleichungen mit den gleichen Lösungen dürfen mit einem Faktor (nicht null) multipliziert werden und beliebig untereinander addiert werden. Subtrahieren ist damit auch möglich, da es einer Multiplikation mit und einer anschliessenden Addition entspricht. Die besagten Operationen werden auch Linearkombinationen genannt. Linearkombinationen von Gleichungen sind Äquivalenzumformungen, weil sie nichts an der…
Das folgende Gleichungssystem ist auf den ersten Blick nicht linear. Mit Hilfe einer Substitution können wir ein lineares Gleichungssystem entdecken, das sich dahinter versteckt: Zuerst dividieren wir Gleichung durch und erhalten so: Wir könnten jetzt gleich die beiden Gleichungen addieren. Wir führen aber eine Substitution ein, um das lineare Gleichungssystem sichtbarer…
Das folgende Gleichungssystem ist wegen der Quadrate offensichtlich nicht linear. Wir haben drei Unbekannte, d.h. wir können die Lösung im dreidimensionalen Raum veranschaulichen. Im dreidimensionalen Raum stellt dann eine Gleichung eine Punktschar dar, die eine Fläche ausmacht. Die erste Gleichung ist die Fläche einer Kugel mit Zentrum im Ursprung und mit Radius . Die zweite…
Das Wichtigste in Kürze Video (zu diesem Thema gibt es noch kein Video) In diesem Video wird die Theorie erklärt und mit Beispielen illustriert. Um das Video anzusehen, musst du eingeloggt sein. Um das Video anzusehen, brauchst du mehr Eulen. Eulen nachkaufen 🦉 (-3 🦉) Häufigste Fragen Beispiel: TITEL Ich habe mir als Schüler damals…
Wir werden jetzt die etwas umständliche Schreibweise für Funktionen vereinfachen und uns darauf konzentrieren, was die Funktion mit dem Input macht. Statt… …schreiben wir jetzt eine Funktionsgleichung: oder einfach Funktionsgleichungen werden oft abgekürzt geschrieben: Auf der rechten Seite steht, wie der Funktionswert mit Hilfe des Arguments berechnet…
Die Eigenschaft gerade oder ungerade zu sein, ist nur für wenige Funktionen anwendbar. Die meisten Funktionen sind weder noch. Es ist aber eine wichtige und nützliche Eigenschaft, die wir immer wieder verwenden werden. Deshalb ist es wichtig, diese Eigenschaft zu kennen. Gerade Funktionen sind spiegelsymmetrisch bezüglich der -Achse: Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch bezüglich…
Eine Funktion ist monoton steigend, wenn sie immer zunimmt oder mindestens gleich bleibt, aber nie abnimmt. Analog gilt eine Funktion als monoton fallend, wenn sie immer nur gleich bleibt oder abnimmt, aber nie zunimmt. Unter streng monoton steigend oder fallend, verstehen wir immer steigend oder fallend und schliessen damit den Fall aus, in welchem die…
Funktionsgraphen, die durch kontinuierliche Punktscharen \textit{ohne} Unterbruch beschrieben werden, heissen stetig. Die Stetigkeit kann an bestimmten Punkten, den sog. Unstetigkeitsstellen, unterbrochen sein: Beispiel Finde die Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktion. Um welche Art von Unstetigkeitsstellen handelt es sich? Wir erhalten die Unstetigkeitsstelle, indem wir das Nennerpolynom null stellen: Links können mit mit…
Die Funktion weist dem Wert einen Funktionswert zu, den nennen wir und diesen weisen wir zu. Im -Koordinatensystem haben wir eine Zuordnung durch von einem bestimmten Wert auf den Wert : Wir können das für alle Werte von wiederholen und erhalten dann eine Punkteschar mit den Koordinaten , , etc. Alle Punkte zusammen…
Das Wichtigste in Kürze Verschiebung des Funktionsverlaufs in vertikaler Richtung: Wenn die Original-Funktion umd den Betrag verschoben wird, entsteht die verschobene neue Funktion : Dabei ist der Graph von um nach oben verschoben. Wenn negativ ist, entsprechend nach unten. Verschiebung des Funktionsverlaufs in horizontaler Richtung: Die Funktion um den Betrag nach rechts verschoben,…
Das Wichtigste in Kürze Streckung des Funktionsverlaufs in vertikaler Richtung: Die Original-Funktion sei . Wir können einen neuen Funktionsgraphen erhalten, der um den Faktor , von der -Achse aus, in vertikaler Richtung gestreckt ist, mit: Wenn ist, wird die Funktion entsprechend gestaucht. Der Faktor der Stauchung entspricht dem Kehrwert . Stauchung des Funktionsverlaufs…
Wir kennen die linearen Gleichungen schon: Sie werden als Gerade dargestellt. Eine gerade Linie kann in einem beliebigen Winkel an einer beliebigen Stelle liegen. Wir schauen uns jetzt an, wie das mathematisch formuliert werden kann. Als Erstes geht es um den Winkel bzw. um die Steigung der Gerade. Die Steigung antwortet auf die Frage: Wie…
Lineare Funktionen gehören zwar zu den einfacheren Funktionen. Sie sind aber vermutlich die meist verbreiteten Funktionen überhaupt. Wie der Name sagt, bilden lineare Funktionen Verläufe von geraden Linien. Alle anderen Funktionen werden einfach mit nicht linear bezeichnet, womit ein meist unbekannter, ”gekrümmter” Verlauf gemeint ist. Lineare Grundfunktion Das typische Merkmal der linearen Grundfunktion ist die…
Ausrichtung der Parabel Quadratische Funktionen haben Parabeln als Graphen. Die Parabeln verlaufen, wenn sie ein positives Vorzeichen haben, von zu einem Minimum und wachsen dann wieder an bis . Die Parabeln sind in diesem Fall nach oben offen. Ist das Vorzeichen negativ, ist die Parabel nach unten offen und hat irgendwo ein Maximum. Der Punkt,…
Das Wichtigste in Kürze Unter einer Hyperbel verstehen wir spezielle Kurven, deren zwei Scheitelpunkte sich gegenüberstehen, wie z.B. beim Verlauf von , oder allgemeiner mit einem ganzzahligen, positiven Exponenten : Für den Exponenten gilt: , womit auch gegeben ist, dass Als Hyperbelfunktionen verstehen wir, analog zu den trigonometrischen Funktionen, die Funktionen, die zur…
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