Gleichungen lösen

Gleichungen und Unbekannte Wie würdest du eine Gleichung definieren? Vermutlich etwas in der Art: Es gibt eine linke und einer rechte Seite. In der Mitte ist ein Gleichheitszeichen, das uns zeigt, dass beide Seiten den gleichen Wert haben.     Das wäre eine Gleichung, aber sie bringt uns nichts, denn links und rechts steht einfach…

Die Lösung einer Gleichung oder einer Ungleichung kann auch als Menge ausgedrückt werden. Beim einfachen Beispiel der Gleichung ist die einzige Lösung . In der Mengenschreibweise sagen wir: “Die Menge aller Lösungen enthält das Element 3″     Das bringt in diesem Fall keine Vorteile, ist aber bei Gleichungen mit mehreren Lösungen sehr praktisch. Beispiel…

Wir starten mit der Gleichung und formen sie um, dieses Mal dividieren wir nicht, sondern multiplizieren mit :     Wir multiplizieren beide Seiten aus und erhalten:     Jetzt subtrahieren wir auf beiden Seiten und 2:         Die Gleichung hat zwei Lösungen, denn und , d.h. 1 und (-1) erfüllen beide…

Im vorigen Kapitel haben wir die beiden sehr einfachen Gleichungen angeschaut:         Man kommt von der ersten zur zweiten Gleichung indem man auf beiden Seiten je 1 addiert. Da die Addition auf beiden Seiten geschieht, wird das Gleichgewicht nicht gestört. In diesem Fall bleibt auch die Lösungsmenge die Gleiche. Die Umformung hat…

Lineare Gleichungen können grafisch mit Linien dargestellt werden. Wenn wir die grafische Methode benutzen, um Lösungen zu finden und die Linien gerade sind, so gibt es folgende Möglichkeiten: 1) Die beiden Linien schneiden sich in einem Punkt, der der Lösung entspricht. 2) Die beiden Linien sind parallel und schneiden sich deshalb nie. Es gibt keine…

Kannst du in der folgenden Gleichung die Wurzel ziehen?         Nein, noch nicht direkt. Die Summe und der -Term verunmöglichen ein einfaches Lösen. Wir benutzen deshalb zuerst die binomische Formel und erhalten eine Form, für welche wir die Wurzel ziehen können.             In diesem Beispiel hatten wir…

Anzahl Lösungen von Potenzgleichungen Gleichungen mit Potenzen, die grösser sind als 2 nennen wir einfach allesamt Potenzgleichungen (streng genommen gehören die linearen und quadratischen Gleichungen eigentlich ja auch zu den Potenzgleichungen, denn sie haben die Potenzen und ).  Wenn lineare Gleichungen bis zu einer Lösung, quadratische Gleichungen bis zu zwei Lösungen haben, dann liegt der…

Auch in der Mathematik gibt es das Konzept der Tarnung. Im Tierreich dient die Tarnung als Schutz, damit das getarnte Tier vom Räuber nicht erkannt wird. In der Mathematik bist du der Räuber (!) und die Gleichung hat sich aber so gut getarnt, dass du nicht weisst, um welche Art von Gleichung es sich handelt…

Der Unterschied zwischen den beiden Methoden ist nicht sehr gross. Die Methode des Einsetzens ist ein bisschen eleganter und praktischer als die des Gleichsetzens. Wir schauen uns wieder dasselbe lineare Gleichungssystem an, lösen es dieses Mal mit Einsetzen.      Mit der Gleichung (2) können wir einen Ausdruck für gewinnen:     Von jetzt an…

Das Wichtigste in Kürze Lineare Gleichungen mit den gleichen Lösungen dürfen mit einem Faktor (nicht null) multipliziert werden und beliebig untereinander addiert werden. Subtrahieren ist damit auch möglich, da es einer Multiplikation mit und einer anschliessenden Addition entspricht.  Die besagten Operationen werden auch Linearkombinationen genannt. Linearkombinationen von Gleichungen sind Äquivalenzumformungen, weil sie nichts an der…

Das folgende Gleichungssystem ist auf den ersten Blick nicht linear. Mit Hilfe einer Substitution können wir ein lineares Gleichungssystem entdecken, das sich dahinter versteckt:     Zuerst dividieren wir Gleichung durch und erhalten so:     Wir könnten jetzt gleich die beiden Gleichungen addieren. Wir führen aber eine Substitution ein, um das lineare Gleichungssystem sichtbarer…

Können Ungleichungen auch algebraisch gelöst werden? Ja, das geht relativ einfach. Wir gehen da genau gleich vor, wie mit Gleichungen, d.h. wir behandeln einfach die linke und die rechte Seite gleich. Es gibt jedoch eine neue Regel, die wir beachten müssen. Angenommen, wir finden später heraus, dass die Lösung ist. Momentan wissen wir das aber…