Graphische Methode

Gleichungen und Unbekannte Wie würdest du eine Gleichung definieren? Vermutlich etwas in der Art: Es gibt eine linke und einer rechte Seite. In der Mitte ist ein Gleichheitszeichen, das uns zeigt, dass beide Seiten den gleichen Wert haben. \[ 1=1 \] Das wäre eine Gleichung, aber sie bringt uns nichts, denn links und rechts steht…

Lösungsmengen

Die Lösung einer Gleichung oder einer Ungleichung kann auch als Menge ausgedrückt werden. Beim einfachen Beispiel der Gleichung $x+1=4$ ist die einzige Lösung $x=3$. In der Mengenschreibweise sagen wir: “Die Menge aller Lösungen $\boldsymbol{L}$ enthält das Element 3” \[ \boldsymbol{L} = \bigl \{ 3 \bigr \} \] Das bringt in diesem Fall keine Vorteile, ist…

Gewinnumformung

Wir starten mit der Gleichung $x+1=2$ und formen sie um, dieses Mal dividieren wir nicht, sondern multiplizieren mit $(x+1)$: \[ (x+1) \cdot (x+1) \;\; = \;\; 2 \cdot (x+1) \] Wir multiplizieren beide Seiten aus und erhalten: \[ x^2 + 2x + 1 \;\; = \;\; 2x + 2 \] Jetzt subtrahieren wir auf beiden…

Verlustumformung

Im vorigen Kapitel haben wir die beiden sehr einfachen Gleichungen angeschaut: \[ x=1 \] \[ x+1=2 \] Man kommt von der ersten zur zweiten Gleichung indem man auf beiden Seiten je 1 addiert. Da die Addition auf beiden Seiten geschieht, wird das Gleichgewicht nicht gestört. In diesem Fall bleibt auch die Lösungsmenge die Gleiche. Die…

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen können grafisch mit Linien dargestellt werden. Wenn wir die grafische Methode benutzen, um Lösungen zu finden und die Linien gerade sind, so gibt es folgende Möglichkeiten: 1) Die beiden Linien schneiden sich in einem Punkt, der der Lösung entspricht. 2) Die beiden Linien sind parallel und schneiden sich deshalb nie. Es gibt keine…

Polynomgleichungen

Anzahl Lösungen von Potenzgleichungen Gleichungen mit Potenzen, die grösser sind als 2 nennen wir einfach allesamt Potenzgleichungen (streng genommen gehören die linearen und quadratischen Gleichungen eigentlich ja auch zu den Potenzgleichungen, denn sie haben die Potenzen $x^1$ und $x^2$).  Wenn lineare Gleichungen bis zu einer Lösung, quadratische Gleichungen bis zu zwei Lösungen haben, dann liegt…

Lösen durch Einsetzen

Der Unterschied zwischen den beiden Methoden ist nicht sehr gross. Die Methode des Einsetzens ist ein bisschen eleganter und praktischer als die des Gleichsetzens. Wir schauen uns wieder dasselbe lineare Gleichungssystem an, lösen es dieses Mal mit Einsetzen.  \[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 3x  –  5y  =  9  \quad  (1) \\ \;\;x  +  4y  =  8  \quad …

Additionsverfahren nach Gauss

Was darf man beim Gauss-Verfahren? Beim Additionsverfahren nach Gauss (oft auch “Eliminationsverfahren nach Gauss” genannt), nutzen wir den Vorteil, dass das Addieren von Gleichungen und das Multiplizieren von Gleichungen mit einem Faktor nichts an der Lösungsmenge der Gleichungen ändert (es sind sog. Äquivalenzumformungen). Wir vergewissern uns davon mit einem kleinen Beispiel: Die offensichtliche Gleichung (1)…

Ungleichungen

Können Ungleichungen auch algebraisch gelöst werden? Ja, das geht relativ einfach. Wir gehen da genau gleich vor, wie mit Gleichungen, d.h. wir behandeln einfach die linke und die rechte Seite gleich. Es gibt jedoch eine neue Regel, die wir beachten müssen. Angenommen, wir finden später heraus, dass die Lösung $x=0$ ist. Momentan wissen wir das…