Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich am Anfang v.a. mit der Berechnung der Fläche unterhalb eines Funktionsgraphen. Die Möglichkeiten, die sich mit der Integralrechnung eröffnen sind aber viel, viel weitgehender als nur Flächenberechnungen. Sie sind sehr vielseitig einsetzbar und von grosser Bedeutung, v.a. in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Wir fangen aber mit der Frage an, wie wir…

Herleitung Wir nehmen das Integral von einer unbekannten unteren Grenze \(a\) bis zur oberen Grenze \(x\). Daraus definieren wir eine Funktion \(F\), die dem Argument \(x\) den Wert des Integrals zuordnet. Damit es kein Problem mit der fixen Grösse \(x\) gibt, verwenden wir für das Integral die Laufvariable \(s\): \[ F(x) = \int_{a}^{x} f(s)\,ds \]…

Mit dem unbestimmten Integral ermitteln wir die Stammfunktion. Mit dem bestimmten Integral berechnen wir die Fläche zwischen den Funktionswerten und der \(x\)-Achse. Wie Flächen aus bestimmten Integralen berechnet werden, schauen wir uns an einem Beispiel an. Gesucht ist die Fläche \(A\) aus dem folgenden Integral: \[ A = \int_{-3}^{2} x^2+2x-3\,dx \] Die Funktion \(f(x)=x^2+2x-3\) integrieren…

Schon bei der Besprechung der Differentialrechnung haben wir eine Faktorregel der Differentialrechnung angetroffen. Das ist natürlich kein Zufall, denn wenn die Integration die Umkehrung der Differentiation ist, dann ist die Summen- und Faktorregel hier mit derjenigen der Differentialrechnung verwandt. Die Faktorregel ist sehr leicht zu erkennen, am besten am Beispiel einer einfachen Summe: \[ \sum_i{C…

Analog zur Summenregel der Differenzialrechnung, gibt es auch die Summenregel der Integralrechnung: Ein Integral einer Summe kann auch Summe von zwei Integralen geschrieben werden, mit den beiden Summanden drin.

Vertauschungsregel Wenn wir von rechts nach links, statt von links nach rechts integrieren, arbeiten wir mit \((-dx)\) statt mit \(dx\). Deshalb ändert sich das Vorzeichen des Integrals: \[ \int_a^b  f(x) \; dx = – \int_b^a f(x) \; dx \] Wir schauen uns das an einem Beispiel an: \[ \int_1^2 \frac{1}{x} \; dx = \big[ \ln(x)…

Du kennst vielleicht die unbestimmten Integrale. Wenn wir sie lösen, erhalten wir die Stammfunktion plus eine Konstante. Im Gegensatz zu den bestimmten Integralen haben unbestimmte Integrale keine Grenzen angegeben. Uneigentliche Integrale haben zwar Grenzen, jedoch ist mindestens eine davon \(\infty\) oder \(-\infty\). Integrale können beide Grenzen uneigentlich sein und dabei von \(-\infty\) bis \(\infty\) laufen….

Für gerade Funktionen \[ f(x) = f(-x) \] kann die Spiegelsymmetrie bezüglich der \(y\)-Achse ausgenützt werden, wenn die Integrationsgrenzen ebenfalls spiegelsymmetrisch angeordnet sind: Die linke und die rechte Seite sind gleich, d.h. das Integral muss nur auf einer Seite berechnet werden: \[ \int_{-a}^a f(x) \; dx = 2 \cdot \int_0^a f(x) \; dx \] Ungerade…