Funktionen, die eine Unstetigkeit oder einen Knick aufweisen, sind an der betreffenden Stelle nicht differenzierbar, d.h. die Steigung des Funktionsgraphen (Ableitung der Funktion) kann an dieser Stelle nicht bestimmt werden.
Mit dem Differenzenquotienten wird die Steigung einer Sekante in einem Steigungsdreieck bestimmt. Im Grenzfall des unendlich kleinen Steigungsdreiecks, wird Differenzenquotient zum Differenzialquotient.
Die Ableitungsfunktion gibt die Steigung der Funktion zurück, die abgeleitet worden ist, d.h. der Funktionswert der Ableitungsfunktion ist die Steigung an der betreffenden Stelle.
Durch Ableiten (Differenzieren) einer Funktion, erhalten wir die Ableitungsfunktion. Leiten wir diese Ableitungsfunktion wieder ab, erhalten wir die sog. zweite Ableitung. Durch mehrfaches Ableiten erhalten wir die höheren Ableitungen.
Die Summenregel der Differenzialrechnung besagt, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen gleich der Summe der einzelnen abgeleiteten Funktionen ist.
Ein konstanter Faktor kann aus der Funktion herausgenommen und am Schluss dann wieder mit der Ableitungsfunktion multipliziert werden.
Mit der Produktregel kann ein Produkt von zwei Teilfunktionen einzeln abgeleitet und erst am Schluss wieder zu einem Ganzen zusammengeführt werden,
Wir können eigentlich jede Funktion um einen Punkt herum linearisieren, d.h. ihre Tangente in diesem Punkt als Näherungslösung benutzen. In vielen Fällen vereinfacht sich die Rechnung sehr stark. Die Genauigkeit ist oft recht gut, obwohl mit einer viel einfacher zu handhabenden Ersatzfunktion gearbeitet wird.
Analog zur Produktregel, kann auch ein Quotient von zwei Teilfunktionen abgeleitet werden, indem die einzelnen Teilfunktionen abgeleitet werden.
Die Kettenregel kommt dann zum Zug, wenn zwei Funktionen ineinander verschachtelt sind. Mit ihrer Hilfe können solche Verschachtelungen abgeleitet werden, selbst dann, wenn die Verschachtelung mehrfach ist.
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