Additionstheoreme der Trigonometrie

Mit den Additionstheoremen haben wir ein paar wichtige Formeln zur Hand, die uns erlauben, trigonometrische Funktionen umzurechnen.

Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus

Wenn wir uns den Einheitskreis anschauen und einen Punkt A festlegen, idealerweise mit einem nicht allzugrossen Winkel \(\varphi\), dann entspricht der Kosinus der \(x\)-Koordinate und der Sinus der \(y\)-Koordinate von A:

\[ A\big(\cos(\varphi), \sin(\varphi)\big) \]

Die Seiten des kleinen rechtwinkligen Dreieck (dunkel eingefärbt) haben die folgenden Längen:

• Horizontale Kathete: \(a = \cos(\varphi)\)
• Vertikale Kathete: \(b = \sin(\varphi)\)
• Hypotenuse: \(c=1\) (da es der Einheitskreis ist)

Wir stellen den Satz des Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) auf und setzen die Längen von oben ein:

\[ \cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi) = 1^2 \]

Für die allgemeine Formel wird meistens \(x\), statt \(\varphi\) verwendet, deshalb schreiben wir die gefundene Formel:

\[ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \]

Das Erstaunliche an dieser Formel: Sie gilt für alle \(x\)!

Nicht nur für den spitzen Winkel, den wir für die Darstellung im Einheitskreis benutzt haben, sondern für alle möglichen \(x\)-Werte.

Sinus einer Summe von zwei Winkeln

Die nächsten zwei Formeln seien hier ohne Herleitung gegeben:

\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) \]

\[ \sin(\alpha – \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) – \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) \]

Es ist üblich, hier eine kompakte Schreibweise für die Vorzeichen zu benutzen. Aus den beiden obigen Formeln machen wir so nur eine Zeile:

\[ \sin(\alpha\pm\beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) \pm \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) \]

So wird sie benutzt: Die Gleichung wird entweder mit allen oberen Vorzeichen oder mit allen unteren Vorzeichen.

Kosinus einer Summe von zwei Winkeln

Die Formel für den Kosinus führen wir hier auch ohne Herleitung ein:

\[ \cos(\alpha\pm\beta) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) \mp \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) \]

Auch hier enthält die Gleichung zwei Gleichungen in kompakter Schreibweise, entweder mit allen oberen Vorzeichen oder mit allen unteren Vorzeichen.

Doppelte, dreifache oder halbe Winkel

In den bisherigen Beispielen haben wir den Trick 🪄 des doppelten Winkels schon verwendet, z.B.

\[ \sin(2x) = \sin(x+x) \]

Das erlaubt uns dann die Additionstheoreme zu zücken und einen Ausdruck mit dem einfachen Winkel \(x\) zu finden.

Was machen wir, wenn wir einen dreifachen Winkel in der trigonometrischen Funktion haben? Da müssen wir einfach den Vorgang zwei Mal wiederholen.

Für halbe Winkel benutzen wir die gleiche Idee umgekehrt: 🙃

\[ \sin(x) = \sin\Big(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\Big) \]

Es ist ein bisschen trickreicher, weil wir jetzt auf der anderen Seite der Additionstheoreme anfangen.

Es empfiehlt sich mit dem Additionstheorem des Kosinus zu arbeiten. Beispielsweise kann ich schreiben:

\[ \cos(x) = \cos(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}) = \cos^2(\frac{x}{2}) – \sin^2(\frac{x}{2}) \]