Beschränktes Wachstum (Sättigungskurve)

Gemäss Aufgabenstellung haben wir nach 200 Metern, d.h. für \(x=200\) eine Konzentration \(c(x)\), die nur noch 20% des ursprünglichen Konzentrationsunterschieds ausmacht. Mathematisch ausgedrückt heisst das: \[ c(200) = c_M – (c_M – c_F) \cdot 0.2 \] Andererseits besagt die Sättigungsfunktion an der Stelle \(x=200\): \[ c(200) = c_M – (c_M – c_F) \cdot e^{-\frac{200}{\lambda}} \] Wir setzen beides gleich: \[ c_M – (c_M – c_F) \cdot 0.2 \;\;=\;\; c_M – (c_M – c_F) \cdot e^{-\frac{200}{\lambda}} \] Beide Seiten sind gleich, wenn die Faktoren \(0.2\) und der exponentielle Teil gleich sind. Es folgt deshalb: \[ 0.2 \;\;=\;\; e^{-\frac{200}{\lambda}} \] Jetzt wenden wir den Trick an, indem wir die ganze Gleichung in den natürlichen Logarithmus setzen: \[ \ln(0.2) \;\;=\;\; -\frac{200}{\lambda} \] \[ \lambda \;\; = \;\; -\frac{200}{\ln(0.2)} \] Wir erhalten so: \[ \underline{\lambda = 124 \;\text{m}} \] Wir erinnern uns, dass bei dieser charakteristischen Länge, rund zwei Drittel des Unterschieds verschwunden sind, weil hier nur noch der \(\frac{1}{e}\)-Teil des ursprünglichen Unterschieds übrig ist. Dieser Wert muss ja kleiner als 200 Metern sein, denn da haben wir ja schon 80% des Unterschieds verloren. Für die zweite Frage setzen wir die Sättigungsfunktion mit unbekannter Länge \(x\) auf und setzen sie gleich der Konzentration des Meeres, abzüglich 1% des ursprünglichen Unterschieds zwischen Fluss und Meer. \[ c_M – (c_M – c_F) \cdot e^{-\frac{x}{\lambda}} \;\; \stackrel{!}{=} \;\; c_M – 0.01 \cdot (c_M – c_F) \] \[ e^{-\frac{x}{\lambda}} \;\; = \;\; 0.01 \] \[ -\frac{x}{\lambda} \;\; = \;\; \ln(0.01) \] \[ x = -\lambda \cdot \ln(0.01) \] Durch Einsetzen des Werts für \(\lambda\) erhalten wir: \[ \underline{x = 572\;\text{m}} \]